Selesaikan secara integrasi parsial masing-masing ekspresi

Jawaban untuk integral pertama: -1/3 x (1-2x)^(3/2) - 1/15 (1-2x)^(5/2) + C. Jawaban untuk integral kedua: 2/9 x (3x+2)^(3/2) - 4/135 (3x+2)^(5/2) + C.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral parsial dari ekspresi yang diberikan, kita akan menggunakan rumus integral parsial: ∫u dv = uv - ∫v du.

1. Integral x akar(1-2x) dx:
   Misalkan u = x dan dv = akar(1-2x) dx.
   Maka du = dx.
   Untuk mencari v, kita integralkan dv:
v = ∫(1-2x)^(1/2) dx
   Misalkan w = 1-2x, maka dw = -2 dx atau dx = -1/2 dw.
   v = ∫w^(1/2) (-1/2 dw) = -1/2 ∫w^(1/2) dw
   v = -1/2 * [w^(3/2) / (3/2)] = -1/2 * (2/3) w^(3/2) = -1/3 (1-2x)^(3/2).
   Sekarang masukkan ke rumus integral parsial:
   ∫x akar(1-2x) dx = x * (-1/3)(1-2x)^(3/2) - ∫(-1/3)(1-2x)^(3/2) dx
   = -1/3 x (1-2x)^(3/2) + 1/3 ∫(1-2x)^(3/2) dx
   Untuk integral kedua, kita gunakan substitusi lagi (w = 1-2x, dx = -1/2 dw):
   ∫(1-2x)^(3/2) dx = ∫w^(3/2) (-1/2 dw) = -1/2 ∫w^(3/2) dw
   = -1/2 * [w^(5/2) / (5/2)] = -1/2 * (2/5) w^(5/2) = -1/5 (1-2x)^(5/2).
   Jadi, hasil akhirnya adalah:
   -1/3 x (1-2x)^(3/2) + 1/3 * (-1/5)(1-2x)^(5/2) + C
   = -1/3 x (1-2x)^(3/2) - 1/15 (1-2x)^(5/2) + C

2. Integral x akar(3x+2) dx:
   Misalkan u = x dan dv = akar(3x+2) dx.
   Maka du = dx.
   Untuk mencari v, kita integralkan dv:
v = ∫(3x+2)^(1/2) dx
   Misalkan w = 3x+2, maka dw = 3 dx atau dx = 1/3 dw.
   v = ∫w^(1/2) (1/3 dw) = 1/3 ∫w^(1/2) dw
   v = 1/3 * [w^(3/2) / (3/2)] = 1/3 * (2/3) w^(3/2) = 2/9 (3x+2)^(3/2).
   Sekarang masukkan ke rumus integral parsial:
   ∫x akar(3x+2) dx = x * (2/9)(3x+2)^(3/2) - ∫(2/9)(3x+2)^(3/2) dx
   = 2/9 x (3x+2)^(3/2) - 2/9 ∫(3x+2)^(3/2) dx
   Untuk integral kedua, kita gunakan substitusi lagi (w = 3x+2, dx = 1/3 dw):
   ∫(3x+2)^(3/2) dx = ∫w^(3/2) (1/3 dw) = 1/3 ∫w^(3/2) dw
   = 1/3 * [w^(5/2) / (5/2)] = 1/3 * (2/5) w^(5/2) = 2/15 (3x+2)^(5/2).
   Jadi, hasil akhirnya adalah:
   2/9 x (3x+2)^(3/2) - 2/9 * (2/15)(3x+2)^(5/2) + C
   = 2/9 x (3x+2)^(3/2) - 4/135 (3x+2)^(5/2) + C