Selesaikan sistem persamaan Iinear tiga variabel berikut!

x=12, y=30, z=20

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
1) x/2 + y/3 - z/5 = 12
2) x/3 - y/2 + z/2 = -1
3) x/4 + y/5 + z/4 = 14

Langkah 1: Hilangkan penyebut dengan mengalikan setiap persamaan dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari penyebutnya.
Untuk persamaan 1, KPK dari 2, 3, 5 adalah 30.
30(x/2) + 30(y/3) - 30(z/5) = 30(12)
15x + 10y - 6z = 360 (Persamaan 1')

Untuk persamaan 2, KPK dari 3, 2, 2 adalah 6.
6(x/3) - 6(y/2) + 6(z/2) = 6(-1)
2x - 3y + 3z = -6 (Persamaan 2')

Untuk persamaan 3, KPK dari 4, 5, 4 adalah 20.
20(x/4) + 20(y/5) + 20(z/4) = 20(14)
5x + 4y + 5z = 280 (Persamaan 3')

Langkah 2: Gunakan metode eliminasi atau substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan yang baru.
Mari kita gunakan metode eliminasi.

Eliminasi z dari Persamaan 1' dan 2':
Kalikan Persamaan 2' dengan 2:
4x - 6y + 6z = -12

Tambahkan dengan Persamaan 1':
(15x + 10y - 6z) + (4x - 6y + 6z) = 360 + (-12)
19x + 4y = 348 (Persamaan 4)

Eliminasi z dari Persamaan 2' dan 3':
Kalikan Persamaan 2' dengan 5:
10x - 15y + 15z = -30
Kalikan Persamaan 3' dengan -3:
-15x - 12y - 15z = -840

Tambahkan kedua hasil perkalian tersebut:
(10x - 15y + 15z) + (-15x - 12y - 15z) = -30 + (-840)
-5x - 27y = -870
5x + 27y = 870 (Persamaan 5)

Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan dua variabel (Persamaan 4 dan 5).
Kalikan Persamaan 4 dengan 5:
95x + 20y = 1740
Kalikan Persamaan 5 dengan -19:
-95x - 513y = -16530

Tambahkan kedua hasil perkalian tersebut:
(95x + 20y) + (-95x - 513y) = 1740 + (-16530)
-493y = -14790
y = -14790 / -493
y = 30

Substitusikan nilai y = 30 ke Persamaan 4:
19x + 4(30) = 348
19x + 120 = 348
19x = 348 - 120
19x = 228
x = 228 / 19
x = 12

Langkah 4: Substitusikan nilai x dan y ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai z. Mari gunakan Persamaan 2'.
2x - 3y + 3z = -6
2(12) - 3(30) + 3z = -6
24 - 90 + 3z = -6
-66 + 3z = -6
3z = -6 + 66
3z = 60
z = 60 / 3
z = 20

Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tersebut adalah x = 12, y = 30, dan z = 20.