Selesaikan soal berikut. limit x mendekati tak hingga

Nilai limitnya adalah tak hingga (∞).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita perlu mengevaluasi limit dari fungsi ketika x mendekati tak hingga:

L = lim (x→∞) [√(3x+4) - √(2x-1)]

Ketika x mendekati tak hingga, kedua suku di dalam akar akan menjadi sangat besar. Jika kita langsung substitusi ∞, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu ∞ - ∞.

Untuk mengatasi bentuk tak tentu ini, kita akan mengalikan ekspresi dengan bentuk konjugatnya. Konjugat dari √(3x+4) - √(2x-1) adalah √(3x+4) + √(2x-1).

L = lim (x→∞) [√(3x+4) - √(2x-1)] * [√(3x+4) + √(2x-1)] / [√(3x+4) + √(2x-1)]

Menggunakan identitas (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 pada pembilang:

L = lim (x→∞) [(3x+4) - (2x-1)] / [√(3x+4) + √(2x-1)]

Sederhanakan pembilangnya:

L = lim (x→∞) [3x + 4 - 2x + 1] / [√(3x+4) + √(2x-1)]
L = lim (x→∞) [x + 5] / [√(3x+4) + √(2x-1)]

Sekarang, untuk mengevaluasi limit saat x → ∞, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut. Dalam hal ini, pangkat tertinggi adalah √x (atau x^(1/2)).

Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan melihat suku dengan pangkat tertinggi di pembilang dan penyebut. Di pembilang, suku tertingginya adalah 'x'. Di penyebut, suku tertingginya adalah √(3x) dan √(2x), yang keduanya sebanding dengan √x.

Mari kita bagi pembilang dan penyebut dengan x (karena di pembilang ada 'x', kita bagi dengan x untuk menyederhanakan bentuk 'x' di pembilang. Di penyebut kita akan membagi dengan √x).

L = lim (x→∞) [x/x + 5/x] / [√(3x/x + 4/x) + √(2x/x - 1/x)]
Ini salah. Kita harus membagi dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut.

Pangkat tertinggi di penyebut adalah √x. Jadi, kita membagi pembilang dan penyebut dengan √x.

L = lim (x→∞) [(x + 5) / √x] / [√(3x+4)/√x + √(2x-1)/√x]

L = lim (x→∞) [x/√x + 5/√x] / [√(3x/x + 4/x) + √(2x/x - 1/x)]
L = lim (x→∞) [√x + 5/√x] / [√(3 + 4/x) + √(2 - 1/x)]

Sekarang, saat x → ∞:
√x → ∞
5/√x → 0
4/x → 0
1/x → 0

Jadi, ekspresi menjadi:

L = lim (x→∞) [∞ + 0] / [√(3 + 0) + √(2 - 0)]
L = lim (x→∞) [∞] / [√3 + √2]
L = ∞ / (√3 + √2)

Karena pembilangnya menuju tak hingga dan penyebutnya adalah konstanta positif, maka limitnya adalah tak hingga.

Jadi, nilai dari lim x mendekati tak hingga (√(3x+4) - √(2x-1)) adalah tak hingga (∞).