Tersedia 8 huruf dalam kata PANDUAN. Tanpa memperhatikan

1080

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung banyak susunan 5 huruf dari kata PANDUAN (8 huruf) dengan syarat huruf pertama adalah huruf vokal.

1.  Identifikasi huruf vokal dalam kata PANDUAN: Huruf vokalnya adalah A, U, A. Terdapat 3 huruf vokal, namun huruf 'A' muncul dua kali.
2.  Susunan 5 huruf dengan huruf pertama vokal:
    *   Posisi pertama (harus vokal): Ada 2 pilihan (A atau U). Kita harus mempertimbangkan kasus berulang.

Kasus 1: Huruf pertama adalah 'A'.
Jika huruf pertama adalah 'A', maka tersisa 7 huruf (P, N, D, U, N, A, N) untuk mengisi 4 posisi berikutnya. Namun, kita harus berhati-hati karena kata PANDUAN memiliki huruf ganda (N ada 2, A ada 2). Total huruf = 8 (P, A, N, D, U, A, N).

Mari kita perjelas huruf yang tersedia: P, A1, N1, D, U, A2, N2.
Vokal yang tersedia: A1, U, A2.

Jika huruf pertama adalah vokal:
Ada 3 pilihan vokal (A1, U, A2) untuk posisi pertama.
Setelah memilih satu vokal untuk posisi pertama, tersisa 7 huruf untuk mengisi 4 posisi berikutnya.

Ini adalah masalah permutasi dengan unsur berulang. Namun, soal ini meminta susunan 5 huruf, bukan permutasi seluruh kata.

Mari kita pecah berdasarkan pilihan vokal di awal:

Sub-kasus 1: Huruf pertama adalah 'U'.
Jika 'U' dipilih sebagai huruf pertama, maka tersisa 7 huruf: P, A, N, D, A, N. Kita perlu memilih 4 huruf dari 7 huruf ini dan menyusunnya. Huruf yang tersedia adalah P, D, U, N (ganda), A (ganda).
Jadi huruf yang tersisa adalah: P, N1, D, A1, N2, A2.
Kita perlu memilih 4 huruf dari (P, N, D, A, N, A) dan menyusunnya.
Total huruf tersisa = 7 (P, A1, N1, D, A2, N2, U).
Jika U dipilih pertama, huruf yang tersisa = P, A1, N1, D, A2, N2. Ada 6 huruf tersisa.

Mari kita gunakan prinsip dasar perhitungan:

Langkah 1: Memilih huruf pertama (harus vokal).
Huruf vokal dalam PANDUAN adalah A, U, A. Terdapat 3 posisi vokal, tetapi hanya ada 2 jenis vokal: A dan U. Karena A muncul dua kali, kita perlu mempertimbangkan ini.

Cara 1 (Mempertimbangkan A sebagai dua pilihan): 
- Jika huruf pertama adalah A (ada 2 pilihan A): Tersisa 7 huruf (P, N, D, U, A, N).
- Jika huruf pertama adalah U (ada 1 pilihan U): Tersisa 7 huruf (P, A, N, D, A, N).

Karena kedua kasus pemilihan vokal awal akan menghasilkan set huruf sisa yang sama (walaupun identitas huruf A mungkin berbeda), mari kita fokus pada pilihan jenis vokal.

Opsi 1: Huruf pertama adalah 'A'.
Ada 2 buah 'A'. Kita pilih salah satu 'A' untuk posisi pertama. Tersisa 7 huruf: P, N, D, U, A, N.
Dari 7 huruf ini (P, N1, D, U, A, N2), kita perlu memilih 4 huruf dan menyusunnya. 
Ini adalah permutasi dari 7 huruf diambil 4, dengan pengulangan 'N' dan 'A'.

Cara yang lebih mudah adalah menghitung total permutasi jika tidak ada syarat, lalu menguranginya, atau menghitung langsung.

Mari kita hitung langsung:

Jumlah total huruf = 8 (P, A, N, D, U, A, N)
Vokal = A, U, A (3 vokal)

Posisi 1 (Vokal): Ada 3 pilihan vokal (A1, U, A2).

Kasus 1: Huruf pertama adalah U.
Sisa huruf: P, A1, N1, D, A2, N2. (6 huruf).
Kita perlu memilih 4 huruf dari 6 huruf ini dan menyusunnya. Ini adalah P(6, 4) = 6! / (6-4)! = 6! / 2! = 6 * 5 * 4 * 3 = 360.

Kasus 2: Huruf pertama adalah A (misal A1).
Sisa huruf: P, N1, D, U, A2, N2. (6 huruf).
Kita perlu memilih 4 huruf dari 6 huruf ini dan menyusunnya. Ini adalah P(6, 4) = 360.

Kasus 3: Huruf pertama adalah A (misal A2).
Sisa huruf: P, A1, N1, D, U, N2. (6 huruf).
Kita perlu memilih 4 huruf dari 6 huruf ini dan menyusunnya. Ini adalah P(6, 4) = 360.

Total = 360 + 360 + 360 = 1080.

Mari kita cek apakah ada cara lain yang lebih sistematis.

Kata PANDUAN memiliki huruf: P(1), A(2), N(2), D(1), U(1). Total 8 huruf.
Kita ingin menyusun 5 huruf dengan syarat huruf pertama adalah vokal (A atau U).

Jumlah cara memilih huruf pertama (vokal):
Ada 2 jenis vokal: A dan U.
Jika kita memilih U untuk posisi pertama, maka tersisa 7 huruf (P, A, N, D, A, N). Kita perlu menyusun 4 huruf dari 7 huruf ini.

Jika kita memilih A untuk posisi pertama, maka tersisa 7 huruf (P, N, D, U, A, N). Kita perlu menyusun 4 huruf dari 7 huruf ini.

Karena ada dua A, ini menjadi rumit jika kita tidak membedakan.

Mari kita gunakan pendekatan:

Jumlah cara mengisi posisi pertama (vokal): Ada 2 pilihan vokal (A atau U).
Namun, karena A muncul dua kali, kita harus memperhitungkan ini.

Cara paling benar: Pilih posisi pertama (vokal), lalu pilih 4 huruf dari sisa 7 huruf dan susun.

Jumlah pilihan vokal untuk posisi pertama = 2 (A atau U).

Jika huruf pertama adalah U:
Sisa huruf: P, A, N, D, A, N (6 huruf).
Kita perlu menyusun 4 huruf dari 6 huruf ini. Huruf yang tersedia: P(1), A(2), N(2), D(1).
Ini adalah permutasi 4 dari 6 huruf dengan pengulangan. 
Cara menghitung permutasi dengan pengulangan untuk memilih 4 dari 6 (P, A, N, D, A, N) adalah kompleks. Kita harus mempertimbangkan kasus:
    - Tidak ada A, tidak ada N: P(3,4) - tidak mungkin
    - Satu A, tidak ada N: Pilih 1 A, 3 dari (P,D,N). P(1,1)*P(3,3) = 1 * 6 = 6
    - Dua A, tidak ada N: Pilih 2 A, 2 dari (P,D,N). P(1,1)*P(3,2) = 1 * 6 = 6
    - Satu N, tidak ada A: Pilih 1 N, 3 dari (P,A,D,A). P(1,1)*P(3,3) = 1 * 6 = 6
    - Dua N, tidak ada A: Pilih 2 N, 2 dari (P,A,D,A). P(1,1)*P(3,2) = 1 * 6 = 6
    - Satu A, satu N: Pilih 1 A, 1 N, 2 dari (P,D,A,N). P(2,2)*P(2,2) = 2*2 = 4
    - Dua A, satu N: Pilih 2 A, 1 N, 1 dari (P,D,N). P(1,1)*P(2,1) = 1 * 2 = 2
    - Satu A, dua N: Pilih 1 A, 2 N, 1 dari (P,D,A). P(1,1)*P(2,1) = 1 * 2 = 2
    - Dua A, dua N: Pilih 2 A, 2 N. P(1,1)*P(1,1) = 1*1 = 1
Ini terlalu rumit.

Mari kita gunakan prinsip dasar perhitungan yang lebih sederhana.

Ada 8 huruf: P, A1, N1, D, U, A2, N2.
Kita ingin menyusun 5 huruf, dengan huruf pertama adalah vokal.

Jumlah cara memilih huruf pertama = 3 (A1, U, A2).

Setelah memilih huruf pertama, tersisa 7 huruf untuk mengisi 4 posisi berikutnya.

Misal huruf pertama adalah U. Sisa: P, A1, N1, D, A2, N2.
Kita perlu memilih 4 huruf dari 6 ini dan menyusunnya.
Total susunan = P(6,4) = 6!/(6-4)! = 6!/2! = 6*5*4*3 = 360.
Karena ada 1 pilihan U, maka kontribusinya adalah 360.

Misal huruf pertama adalah A1. Sisa: P, N1, D, U, A2, N2.
Kita perlu memilih 4 huruf dari 6 ini dan menyusunnya.
Total susunan = P(6,4) = 360.

Misal huruf pertama adalah A2. Sisa: P, A1, N1, D, U, N2.
Kita perlu memilih 4 huruf dari 6 ini dan menyusunnya.
Total susunan = P(6,4) = 360.

Jadi, total susunan adalah 360 (untuk U di awal) + 360 (untuk A1 di awal) + 360 (untuk A2 di awal) = 1080.

Jawaban: 1080 susunan.