Selesaikanlah pengintegralan tak tentu terhadap x .a.

a. $2x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x + C$, b. $\frac{(x+2)^4}{4} + C$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pengintegralan tak tentu ini, kita akan mengintegralkan masing-masing fungsi terhadap x.

a. $h(x) = 8x^3 - 2x^2 + 5x - 2$
Untuk mengintegralkan $h(x)$, kita gunakan aturan pangkat $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
$\int h(x) dx = \int (8x^3 - 2x^2 + 5x - 2) dx$
$= \int 8x^3 dx - \int 2x^2 dx + \int 5x dx - \int 2 dx$
$= 8 \int x^3 dx - 2 \int x^2 dx + 5 \int x dx - 2 \int 1 dx$
$= 8 \left(\frac{x^{3+1}}{3+1}\right) - 2 \left(\frac{x^{2+1}}{2+1}\right) + 5 \left(\frac{x^{1+1}}{1+1}\right) - 2(x) + C$
$= 8 \left(\frac{x^4}{4}\right) - 2 \left(\frac{x^3}{3}\right) + 5 \left(\frac{x^2}{2}\right) - 2x + C$
$= 2x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x + C$

b. $t(x) = (x+2)^3$
Untuk mengintegralkan $t(x)$, kita bisa menggunakan substitusi atau menjabarkan terlebih dahulu.
Metode 1: Ekspansi
$(x+2)^3 = x^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$
$\int t(x) dx = \int (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) dx$
$= \int x^3 dx + \int 6x^2 dx + \int 12x dx + \int 8 dx$
$= \frac{x^4}{4} + 6\frac{x^3}{3} + 12\frac{x^2}{2} + 8x + C$
$= \frac{x^4}{4} + 2x^3 + 6x^2 + 8x + C$

Metode 2: Substitusi
Misalkan $u = x+2$. Maka $du = dx$.
$\int (x+2)^3 dx = \int u^3 du$
$= \frac{u^4}{4} + C$
Substitusi kembali $u = x+2$:
$= \frac{(x+2)^4}{4} + C$

Kedua hasil metode 2 sama jika dijabarkan:
$\frac{(x+2)^4}{4} = \frac{1}{4} (x^4 + 4x^3(2) + 6x^2(2^2) + 4x(2^3) + 2^4)$
$= \frac{1}{4} (x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16)$
$= \frac{x^4}{4} + 2x^3 + 6x^2 + 8x + 4$. Perhatikan bahwa konstanta C bisa menyerap '+4' ini.