Selesaikanlah persamaan berikut. x^3-6x^2+11x-6=0

Solusi dari persamaan $x^3-6x^2+11x-6=0$ adalah $x=1$, $x=2$, dan $x=3$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan kubik $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$, kita bisa mencoba mencari akar-akar rasionalnya menggunakan Teorema Akar Rasional. Faktor dari konstanta -6 adalah $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Mari kita uji $x=1$: $1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Jadi, $x=1$ adalah salah satu akarnya.
Karena $x=1$ adalah akar, maka $(x-1)$ adalah faktor dari polinomial. Kita bisa melakukan pembagian polinomial atau metode Horner untuk menemukan faktor lainnya.
Menggunakan pembagian sintetik dengan $x=1$:
```
1 | 1  -6  11  -6
  |    1  -5   6
  ----------------
    1  -5   6   0
```
Polinomialnya menjadi $(x-1)(x^2 - 5x + 6) = 0$.
Sekarang kita faktorkan persamaan kuadrat $x^2 - 5x + 6 = 0$. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 6 dan jika dijumlahkan menghasilkan -5. Bilangan tersebut adalah -2 dan -3.
Jadi, $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0$.
Dengan demikian, persamaan lengkapnya adalah $(x-1)(x-2)(x-3) = 0$.
Solusi dari persamaan ini adalah $x=1$, $x=2$, atau $x=3$.