Kelas UniversitasKelas 11Kelas 12mathKalkulus DiferensialKemonotonan Dan Kecekungan
Selidiki sifat-sifat kontinuitas dari fungsi: f(x)={x
Pertanyaan
Selidiki sifat-sifat kontinuitas dari fungsi $f(x) = \begin{cases} x \sin(1/x) & \text{jika } x \neq 0 \\ 5 & \text{jika } x = 0 \end{cases}$ untuk $x=0$!
Solusi
Verified
Fungsi tidak kontinu di $x=0$ karena $\lim_{x\to 0} f(x) \neq f(0)$.
Pembahasan
Untuk menyelidiki sifat-sifat kontinuitas dari fungsi $f(x) = \begin{cases} x \sin(1/x) & x \neq 0 \\ 5 & x = 0 \end{cases}$ pada $x=0$, kita perlu memeriksa tiga syarat kontinuitas: 1. $f(c)$ terdefinisi. Dalam kasus ini, $c=0$. Diberikan bahwa $f(0) = 5$. Jadi, $f(0)$ terdefinisi. 2. $\lim_{x \to c} f(x)$ ada. Kita perlu mencari limit dari $f(x)$ saat $x$ mendekati 0. Karena $x \neq 0$ saat mendekati 0, kita gunakan definisi $f(x) = x \sin(1/x)$. $\lim_{x \to 0} x \sin(1/x)$ Kita tahu bahwa $-1 \leq \sin(\theta) \leq 1$ untuk setiap nilai $\theta$. Maka, $-1 \leq \sin(1/x) \leq 1$ untuk $x \neq 0$. Kalikan ketiga bagian ketidaksamaan dengan $|x|$ (karena $x$ mendekati 0, $|x|$ positif): $-|x| \leq x \sin(1/x) \leq |x|$ Saat $x \to 0$, kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} |x| = 0$ dan $\lim_{x \to 0} -|x| = 0$. Berdasarkan Teorema Apit (Squeeze Theorem), jika $\lim_{x \to c} g(x) = L$ dan $\lim_{x \to c} h(x) = L$, dan $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ di sekitar $c$ (kecuali mungkin di $c$), maka $\lim_{x \to c} f(x) = L$. Dalam kasus ini, $L=0$. Maka, $\lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0$. Jadi, limitnya ada dan nilainya adalah 0. 3. $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ Dari langkah 1, kita punya $f(0) = 5$. Dari langkah 2, kita punya $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$. Karena $0 \neq 5$, maka $\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$. Kesimpulan: Karena syarat ketiga tidak terpenuhi (limit fungsi saat $x$ mendekati 0 tidak sama dengan nilai fungsi di $x=0$), maka fungsi $f(x)$ tidak kontinu di $x=0$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi, Kontinuitas Fungsi
Section: Syarat Kontinuitas, Teorema Apit
Apakah jawaban ini membantu?