Selidiki sifat-sifat kontinuitas dari fungsi: f(x)={x

Fungsi tidak kontinu di $x=0$ karena $\lim_{x\to 0} f(x) \neq f(0)$.

Pembahasan

Untuk menyelidiki sifat-sifat kontinuitas dari fungsi $f(x) = \begin{cases} x \sin(1/x) & x \neq 0 \\ 5 & x = 0 \end{cases}$ pada $x=0$, kita perlu memeriksa tiga syarat kontinuitas:

1.  $f(c)$ terdefinisi.
    Dalam kasus ini, $c=0$. Diberikan bahwa $f(0) = 5$. Jadi, $f(0)$ terdefinisi.

2.  $\lim_{x \to c} f(x)$ ada.
    Kita perlu mencari limit dari $f(x)$ saat $x$ mendekati 0. Karena $x \neq 0$ saat mendekati 0, kita gunakan definisi $f(x) = x \sin(1/x)$.
    $\lim_{x \to 0} x \sin(1/x)$
    Kita tahu bahwa $-1 \leq \sin(\theta) \leq 1$ untuk setiap nilai $\theta$.
    Maka, $-1 \leq \sin(1/x) \leq 1$ untuk $x \neq 0$.
    Kalikan ketiga bagian ketidaksamaan dengan $|x|$ (karena $x$ mendekati 0, $|x|$ positif):
    $-|x| \leq x \sin(1/x) \leq |x|$
    Saat $x \to 0$, kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} |x| = 0$ dan $\lim_{x \to 0} -|x| = 0$.
    Berdasarkan Teorema Apit (Squeeze Theorem), jika $\lim_{x \to c} g(x) = L$ dan $\lim_{x \to c} h(x) = L$, dan $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ di sekitar $c$ (kecuali mungkin di $c$), maka $\lim_{x \to c} f(x) = L$.
    Dalam kasus ini, $L=0$. Maka, $\lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0$.
    Jadi, limitnya ada dan nilainya adalah 0.

3.  $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$
    Dari langkah 1, kita punya $f(0) = 5$.
    Dari langkah 2, kita punya $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.
    Karena $0 \neq 5$, maka $\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$.

Kesimpulan:
Karena syarat ketiga tidak terpenuhi (limit fungsi saat $x$ mendekati 0 tidak sama dengan nilai fungsi di $x=0$), maka fungsi $f(x)$ tidak kontinu di $x=0$.