Semua bilangan real x memenuhi (|x-2|+x)/(2-|x-2|)>=1

0 < x < 4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (|x-2|+x)/(2-|x-2|) >= 1, kita perlu mempertimbangkan dua kasus berdasarkan nilai mutlak |x-2|.

Kasus 1: x-2 >= 0, yaitu x >= 2.
Dalam kasus ini, |x-2| = x-2.
Pertidaksamaan menjadi: (x-2+x)/(2-(x-2)) >= 1
(2x-2)/(2-x+2) >= 1
(2x-2)/(4-x) >= 1
(2x-2)/(4-x) - 1 >= 0
(2x-2 - (4-x))/(4-x) >= 0
(2x-2-4+x)/(4-x) >= 0
(3x-6)/(4-x) >= 0
Ini terpenuhi ketika (3x-6 >= 0 dan 4-x > 0) atau (3x-6 <= 0 dan 4-x < 0).
Subkasus 1a: 3x-6 >= 0 (x >= 2) dan 4-x > 0 (x < 4).
Irisannya adalah 2 <= x < 4.
Subkasus 1b: 3x-6 <= 0 (x <= 2) dan 4-x < 0 (x > 4).
Irisannya kosong.
Jadi, dari kasus 1, solusinya adalah 2 <= x < 4.

Kasus 2: x-2 < 0, yaitu x < 2.
Dalam kasus ini, |x-2| = -(x-2) = 2-x.
Pertidaksamaan menjadi: (-(x-2)+x)/(2-(-(x-2))) >= 1
(-x+2+x)/(2-(2-x)) >= 1
2/(2-2+x) >= 1
2/x >= 1
Ini terpenuhi ketika (2 >= x dan x > 0).
Jadi, dari kasus 2, solusinya adalah 0 < x < 2.

Menggabungkan solusi dari kedua kasus:
(0 < x < 2) atau (2 <= x < 4).
Ini dapat ditulis sebagai 0 < x < 4.

Jadi, semua bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah 0 < x < 4.