Kelas 12Kelas 11mathProgram Linear
Seorang diharuskan meminum obat yang mengandung pasien
Pertanyaan
Seorang diharuskan meminum obat yang mengandung pasien sekurang-kurangnya 75 g kalsium dan 96 g zat besi. Pada obat I mengandung kalsium dan zat besi masing-masing sebesar 15 g dan 10 g per butir, sedangkan obat kedua mengandung 10 g kalsium dan 16 g zat besi per butir, Jika harga per butir obat I Rp 1.500,00 dan obat II Rp 800,00 per butir. Tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan pasien itu untuk memenuhi kebutuhan kalsium dan zat besi.
Solusi
Verified
Biaya minimum adalah Rp 6.000,00 dengan mengonsumsi 0 butir obat I dan 7.5 butir obat II.
Pembahasan
Ini adalah soal program linear yang bertujuan untuk meminimalkan biaya. Langkah 1: Definisikan variabel. Misalkan: x = jumlah butir obat I y = jumlah butir obat II Langkah 2: Buat fungsi tujuan (biaya yang ingin diminimalkan). Biaya per butir obat I adalah Rp 1.500,00. Biaya per butir obat II adalah Rp 800,00. Fungsi tujuan: Z = 1500x + 800y Langkah 3: Buat batasan berdasarkan kebutuhan kalsium dan zat besi. Kebutuhan minimal kalsium: 75 g Kebutuhan minimal zat besi: 96 g Obat I mengandung 15 g kalsium dan 10 g zat besi. Obat II mengandung 10 g kalsium dan 16 g zat besi. Batasan Kalsium: 15x + 10y >= 75 (Bagi dengan 5) => 3x + 2y >= 15 Batasan Zat Besi: 10x + 16y >= 96 (Bagi dengan 2) => 5x + 8y >= 48 Langkah 4: Tambahkan batasan non-negatif. Karena jumlah obat tidak bisa negatif: x >= 0 y >= 0 Langkah 5: Tentukan titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi batasan. Kita perlu mencari perpotongan dari garis-garis batasan: 1. 3x + 2y = 15 2. 5x + 8y = 48 3. x = 0 4. y = 0 Titik perpotongan antara garis 1 dan 2: Kalikan persamaan 1 dengan 4: 12x + 8y = 60 Kurangkan persamaan 2 dari hasil ini: (12x + 8y) - (5x + 8y) = 60 - 48 7x = 12 x = 12/7 Substitusikan x = 12/7 ke persamaan 1: 3(12/7) + 2y = 15 36/7 + 2y = 15 2y = 15 - 36/7 2y = (105 - 36) / 7 2y = 69/7 y = 69/14 Titik potong 1 = (12/7, 69/14) Titik perpotongan garis 1 dengan sumbu y (x=0): 3(0) + 2y = 15 => 2y = 15 => y = 7.5 Titik potong 2 = (0, 7.5) Titik perpotongan garis 2 dengan sumbu x (y=0): 5x + 8(0) = 48 => 5x = 48 => x = 9.6 Titik potong 3 = (9.6, 0) Titik asal (0,0) tidak memenuhi batasan karena 75 dan 96 adalah positif. Kita perlu mencari titik potong antara garis 3x + 2y = 15 dengan sumbu x (y=0) dan garis 5x + 8y = 48 dengan sumbu y (x=0) juga, tapi itu sudah tercakup dalam perpotongan dengan sumbu. Mari kita tentukan titik pojok yang valid: - Titik potong antara 3x + 2y = 15 dan sumbu y (x=0): (0, 7.5). Cek batasan kedua: 5(0) + 8(7.5) = 60 >= 48. Valid. - Titik potong antara 5x + 8y = 48 dan sumbu x (y=0): (9.6, 0). Cek batasan pertama: 3(9.6) + 2(0) = 28.8 >= 15. Valid. - Titik potong antara 3x + 2y = 15 dan 5x + 8y = 48: (12/7, 69/14). Nilai x ≈ 1.71, nilai y ≈ 4.93. Kedua batasan terpenuhi. Titik pojok yang perlu diuji adalah: (0, 7.5), (9.6, 0), dan (12/7, 69/14). Langkah 6: Evaluasi fungsi tujuan Z = 1500x + 800y pada setiap titik pojok. - Pada titik (0, 7.5): Z = 1500(0) + 800(7.5) Z = 0 + 6000 Z = 6000 - Pada titik (9.6, 0): Z = 1500(9.6) + 800(0) Z = 14400 + 0 Z = 14400 - Pada titik (12/7, 69/14): Z = 1500(12/7) + 800(69/14) Z = 18000/7 + 55200/14 Z = 36000/14 + 55200/14 Z = 91200/14 Z = 45600/7 Z ≈ 6514.29 Nilai minimum Z adalah 6000, yang terjadi pada titik (0, 7.5). Namun, ada kemungkinan bahwa jumlah obat harus berupa bilangan bulat. Jika demikian, kita perlu mempertimbangkan pembulatan atau metode integer programming. Tetapi, jika tidak disebutkan, kita asumsikan bisa berupa pecahan. Mari kita periksa kembali perhitungan: Batasan: 3x + 2y >= 15 5x + 8y >= 48 Titik potong (12/7, 69/14): 3(12/7) + 2(69/14) = 36/7 + 69/7 = 105/7 = 15 (Tepat) 5(12/7) + 8(69/14) = 60/7 + 552/14 = 120/14 + 552/14 = 672/14 = 48 (Tepat) Nilai Z pada (12/7, 69/14) = 1500(12/7) + 800(69/14) = 18000/7 + 55200/14 = 36000/14 + 55200/14 = 91200/14 = 45600/7 ≈ 6514.29 Nilai Z pada (0, 7.5) = 1500(0) + 800(7.5) = 6000 Nilai Z pada (9.6, 0) = 1500(9.6) + 800(0) = 14400 Nilai minimum biaya adalah Rp 6.000,00 jika pasien mengonsumsi 0 butir obat I dan 7.5 butir obat II. Karena tidak mungkin mengonsumsi setengah butir, maka kita perlu mempertimbangkan nilai integer terdekat atau formulasi yang berbeda jika obat hanya tersedia dalam butir utuh. Jika kita harus menggunakan bilangan bulat, maka ini menjadi masalah Integer Programming. Namun, jika kita mengasumsikan obat bisa dibagi, maka Rp 6.000 adalah jawabannya. Dalam konteks soal matematika SMA, biasanya jika tidak disebutkan harus bulat, maka jawaban pecahan diterima. Jika kita bulatkan ke atas untuk memastikan kebutuhan terpenuhi: Untuk x=0, y=7.5 -> jika y=8, Z = 1500(0) + 800(8) = 6400. Cek batasan: 3(0)+2(8)=16>=15, 5(0)+8(8)=64>=48. Valid. Untuk titik (12/7, 69/14) ≈ (1.71, 4.93). Jika x=1, y=5: Z = 1500(1) + 800(5) = 1500 + 4000 = 5500. Cek batasan: 3(1)+2(5)=13<15 (Tidak memenuhi kalsium). Jika x=2, y=5: Z = 1500(2) + 800(5) = 3000 + 4000 = 7000. Cek batasan: 3(2)+2(5)=16>=15, 5(2)+8(5)=50>=48. Valid. Jika x=1, y=6: Z = 1500(1) + 800(6) = 1500 + 4800 = 6300. Cek batasan: 3(1)+2(6)=15>=15, 5(1)+8(6)=53>=48. Valid. Jika x=2, y=4: Z = 1500(2) + 800(4) = 3000 + 3200 = 6200. Cek batasan: 3(2)+2(4)=14<15 (Tidak memenuhi kalsium). Jika kita membulatkan y=69/14=4.93 menjadi 5, dan x=12/7=1.71 menjadi 2: (x=2, y=5) => Z = 7000. Memenuhi batasan. Jika kita membulatkan x=12/7=1.71 menjadi 1, dan y=69/14=4.93 menjadi 5: (x=1, y=5) => Tidak memenuhi kalsium. Jika kita melihat titik pojok (0, 7.5) yang memberikan biaya 6000. Jika y harus bulat, maka y=8. Biaya = 6400. Mari kita bandingkan nilai minimum yang mungkin: - Menggunakan (0, 7.5) -> Biaya Rp 6.000 (jika bisa pecahan) - Menggunakan (1, 6) -> Biaya Rp 6.300 - Menggunakan (2, 5) -> Biaya Rp 7.000 Nilai minimum integer yang memenuhi batasan harus diperiksa lebih teliti. Titik (0, 7.5) => Biaya 6000. Jika y=8, biaya 6400. Titik (12/7, 69/14) ≈ (1.71, 4.93) => Biaya ≈ 6514.29. Jika dibulatkan menjadi integer point terdekat yang memenuhi: (2, 5) => Biaya 7000. atau (1, 6) => Biaya 6300. Karena soal tidak menyebutkan harus integer, kita gunakan hasil dari program linear. Nilai minimum adalah Rp 6.000,00. Namun, angka 7.5 butir obat II kurang realistis. Periksa kembali soal dan asumsi. Jika soal berasal dari materi program linear dasar, maka jawaban pecahan seringkali diterima. Jika kita harus memilih obat dalam butir utuh, maka kita perlu mencari titik integer terdekat yang memenuhi batasan dan memberikan biaya minimum. Poin (1, 6) memberikan biaya 6300 dan memenuhi batasan. Poin (0, 8) memberikan biaya 6400 dan memenuhi batasan. Antara 6000 (pecahan), 6300 (integer), 6400 (integer), 7000 (integer).. Jika mengasumsikan harus integer: Kita perlu menguji titik integer di sekitar (12/7, 69/14) ≈ (1.71, 4.93). Titik (1, 5) - tidak memenuhi Titik (2, 5) - memenuhi, Z=7000 Titik (1, 6) - memenuhi, Z=6300 Titik (2, 4) - tidak memenuhi Titik (0, 7.5) -> (0, 8) - memenuhi, Z=6400 Jadi, jika harus integer, biaya minimum adalah Rp 6.300 dengan membeli 1 butir obat I dan 6 butir obat II. Namun, tanpa instruksi eksplisit untuk bilangan bulat, jawaban program linear standar adalah minimum pada titik pojok, yaitu Rp 6.000. Karena soal ini sering muncul dalam konteks yang mengizinkan nilai non-integer dalam konteks matematis (meskipun tidak praktis), kita akan berikan jawaban berdasarkan perhitungan program linear. Biaya minimum adalah Rp 6.000,00.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Optimasi Program Linear
Section: Menentukan Biaya Minimum
Apakah jawaban ini membantu?