Seorang pedagang sepatu menjual dua jenis sepatu A dan B.

Jual 0 sepatu A dan 30 sepatu B.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep program linear.

Misalkan:
Jumlah sepatu A = x
Jumlah sepatu B = y

Fungsi tujuan (keuntungan):
Keuntungan sepatu A = Rp 50.000
Keuntungan sepatu B = Rp 100.000
Total Keuntungan (Z) = 50.000x + 100.000y

Kendala:
1. Modal:
   Harga beli sepatu A = Rp 250.000
   Harga beli sepatu B = Rp 300.000
   Total modal = Rp 10.000.000
   Kendala modal: 250.000x + 300.000y <= 10.000.000 (disederhanakan menjadi 5x + 6y <= 200)

2. Jumlah sepatu:
   Jumlah sepatu yang dapat dibawa = 30 pasang
   Kendala jumlah: x + y <= 30

3. Non-negatif:
   x >= 0
   y >= 0

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Cari titik-titik potong dari kendala:
   a. 5x + 6y = 200
      Jika x = 0, maka 6y = 200 => y = 200/6 = 33.33
      Jika y = 0, maka 5x = 200 => x = 40
      Titik: (0, 33.33) dan (40, 0)

   b. x + y = 30
      Jika x = 0, maka y = 30
      Jika y = 0, maka x = 30
      Titik: (0, 30) dan (30, 0)

2. Cari titik potong antara kedua garis kendala:
   Dari x + y = 30, maka y = 30 - x
   Substitusikan ke 5x + 6y = 200:
   5x + 6(30 - x) = 200
   5x + 180 - 6x = 200
   -x = 20
   x = -20
   Ini menunjukkan bahwa titik potong berada di luar daerah yang relevan (karena x tidak bisa negatif).

   Mari kita cek ulang kendala dan titik potongnya. Sepertinya ada kesalahan interpretasi atau perhitungan.
   Mari kita cari titik potong kedua garis:
   Persamaan 1: 5x + 6y = 200
   Persamaan 2: x + y = 30   => Kalikan 6: 6x + 6y = 180

   Kurangkan Persamaan 2 (yang dikali 6) dari Persamaan 1:
   (5x + 6y) - (6x + 6y) = 200 - 180
   -x = 20
   x = -20
   Karena nilai x tidak mungkin negatif, ini berarti titik potong kedua garis tidak berada dalam daerah layak yang dibatasi oleh x >= 0 dan y >= 0. Maka, kita hanya perlu mengevaluasi titik-titik sudut yang berada pada sumbu koordinat.

   Titik-titik sudut yang mungkin adalah:
   a. (0, 0)
   b. Titik potong dengan sumbu x dari kendala jumlah: (30, 0)
   c. Titik potong dengan sumbu y dari kendala jumlah: (0, 30)
   d. Titik potong dengan sumbu x dari kendala modal: (40, 0) - ini tidak relevan karena melanggar kendala jumlah.
   e. Titik potong dengan sumbu y dari kendala modal: (0, 33.33) - ini tidak relevan karena melanggar kendala jumlah.

   Kita perlu mempertimbangkan titik-titik sudut dari daerah yang dibatasi oleh:
   x >= 0
   y >= 0
   x + y <= 30
   5x + 6y <= 200

   Titik-titik sudut yang memenuhi adalah:
   1. (0, 0) -> Z = 50.000(0) + 100.000(0) = 0
   2. Titik potong x+y=30 dengan sumbu x, yaitu (30, 0).
      Periksa kendala modal: 5(30) + 6(0) = 150 <= 200. (Memenuhi)
      Z = 50.000(30) + 100.000(0) = 1.500.000
   3. Titik potong 5x+6y=200 dengan sumbu y. Jika x=0, 6y=200, y=33.33. Ini tidak memenuhi x+y<=30.
   4. Titik potong x+y=30 dengan sumbu y, yaitu (0, 30).
      Periksa kendala modal: 5(0) + 6(30) = 180 <= 200. (Memenuhi)
      Z = 50.000(0) + 100.000(30) = 3.000.000
   5. Titik potong antara x+y=30 dan 5x+6y=200.
      Kita sudah hitung di atas, x = -20, yang tidak valid.

   Mari kita pertimbangkan titik potong garis 5x + 6y = 200 dengan sumbu y, yaitu (0, 200/6) atau (0, 33.33). Titik ini tidak memenuhi kendala x + y <= 30.
   Mari kita pertimbangkan titik potong garis x + y = 30 dengan sumbu x, yaitu (30, 0). Titik ini memenuhi kendala 5x + 6y <= 200 (5*30 = 150).
   Mari kita pertimbangkan titik potong garis x + y = 30 dengan sumbu y, yaitu (0, 30). Titik ini memenuhi kendala 5x + 6y <= 200 (6*30 = 180).

   Kesalahan dalam perhitungan titik potong sebelumnya. Mari kita cari titik potong yang valid.
   x + y = 30  => y = 30 - x
   5x + 6y = 200
   5x + 6(30 - x) = 200
   5x + 180 - 6x = 200
   -x = 20
   x = -20. Ini masih tidak valid.

   Ada kemungkinan bahwa batas daerah layak tidak bertemu di kuadran pertama selain di sumbu.
   Mari kita periksa titik-titik sudut yang mungkin:
   1. (0,0): Z = 0
   2. (30,0): (memenuhi x+y<=30 dan 5x+6y<=200). Z = 50.000*30 = 1.500.000
   3. (0,30): (memenuhi x+y<=30 dan 5x+6y<=200). Z = 100.000*30 = 3.000.000
   4. Titik potong garis 5x+6y=200 dengan sumbu x adalah (40,0). Tidak memenuhi x+y<=30.
   5. Titik potong garis 5x+6y=200 dengan sumbu y adalah (0, 33.33). Tidak memenuhi x+y<=30.

   Dalam kasus ini, titik potong antara kedua garis kendala berada di luar daerah yang layak. Oleh karena itu, kita hanya perlu mengevaluasi nilai fungsi tujuan pada titik-titik sudut yang memenuhi semua kendala.

   Titik yang memenuhi:
   - (0, 0)
   - (30, 0)
   - (0, 30)

   Evaluasi Z:
   - Di (0, 0): Z = 0
   - Di (30, 0): Z = 50.000 * 30 + 100.000 * 0 = 1.500.000
   - Di (0, 30): Z = 50.000 * 0 + 100.000 * 30 = 3.000.000

   Jadi, untuk memperoleh keuntungan sebesar mungkin, pedagang harus menjual 0 pasang sepatu A dan 30 pasang sepatu B.

   Keuntungan maksimal adalah Rp 3.000.000.

Jawaban:
Pedagang harus menjual 0 pasang sepatu A dan 30 pasang sepatu B untuk memperoleh keuntungan sebesar mungkin, yaitu Rp 3.000.000.