Seorang pengusaha sepatu memproduksi 2.000 pasang sepatu

Peluangnya adalah sekitar 0.4233 atau 42.33%.

Pembahasan

Diketahui:
Jumlah total sepatu yang diproduksi = 2.000 pasang
Jumlah sepatu yang tidak memenuhi standar mutu = 2 pasang
Jumlah pesanan sepatu = 3.000 pasang

Kita perlu mencari peluang pedagang tersebut mendapat paling banyak 2 pasang sepatu yang tidak memenuhi standar mutu dari 3.000 pasang pesanan.

Pertama, kita tentukan peluang sebuah sepatu tidak memenuhi standar mutu dari produksi awal:
Peluang (rusak) = Jumlah sepatu rusak / Jumlah total sepatu = 2 / 2000 = 1/1000 = 0.001
Peluang (baik) = 1 - Peluang (rusak) = 1 - 0.001 = 0.999

Ini adalah masalah distribusi binomial, di mana:
n = jumlah percobaan (jumlah sepatu yang dipesan) = 3.000
k = jumlah keberhasilan (jumlah sepatu yang tidak memenuhi standar mutu) yang kita inginkan paling banyak 2.
p = peluang sukses (sepatu tidak memenuhi standar mutu) = 0.001
q = peluang gagal (sepatu memenuhi standar mutu) = 0.999

Rumus peluang binomial: $P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^{(n-k)}$

Kita perlu mencari P(X <= 2), yaitu P(X=0) + P(X=1) + P(X=2).

1. Peluang mendapat 0 sepatu rusak (P(X=0)):
   $P(X=0) = C(3000, 0) * (0.001)^0 * (0.999)^{(3000-0)}$
   $P(X=0) = 1 * 1 * (0.999)^{3000}$
   Menggunakan kalkulator atau aproksimasi Poisson (karena n besar dan p kecil, $\lambda = np = 3000 * 0.001 = 3$):
   $P(X=0) \approx e^{-3} * 3^0 / 0! = e^{-3} \approx 0.0498$

2. Peluang mendapat 1 sepatu rusak (P(X=1)):
   $P(X=1) = C(3000, 1) * (0.001)^1 * (0.999)^{(3000-1)}$
   $P(X=1) = 3000 * 0.001 * (0.999)^{2999}$
   $P(X=1) = 3 * (0.999)^{2999}$
   Menggunakan aproksimasi Poisson:
   $P(X=1) \approx e^{-3} * 3^1 / 1! = 3 * e^{-3} \approx 3 * 0.0498 = 0.1494$

3. Peluang mendapat 2 sepatu rusak (P(X=2)):
   $P(X=2) = C(3000, 2) * (0.001)^2 * (0.999)^{(3000-2)}$
   $C(3000, 2) = \frac{3000 * 2999}{2 * 1} = 1500 * 2999 = 4.498.500$
   $P(X=2) = 4.498.500 * (0.000001) * (0.999)^{2998}$
   $P(X=2) = 4.4985 * (0.999)^{2998}$
   Menggunakan aproksimasi Poisson:
   $P(X=2) \approx e^{-3} * 3^2 / 2! = e^{-3} * 9 / 2 = 4.5 * e^{-3} \approx 4.5 * 0.0498 = 0.2241$

Total Peluang (P(X <= 2)) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
$P(X \le 2) \approx 0.0498 + 0.1494 + 0.2241 = 0.4233$

Jadi, peluang pedagang tersebut mendapat paling banyak 2 pasang sepatu yang tidak memenuhi standar mutu adalah sekitar 0.4233 atau 42.33%.