Sisa pembagian suku banyak P(x)=x^5-1 oleh x^2-x-2 adalah

Sisa pembagiannya adalah 11x + 9.

Pembahasan

Diketahui suku banyak P(x) = x^5 - 1.
Kita akan mencari sisa pembagian P(x) oleh x^2 - x - 2.
Pertama, faktorkan pembagi:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

Menurut teorema sisa, jika suku banyak P(x) dibagi oleh (x-a)(x-b), maka sisanya adalah sisa pembagian P(x) oleh (x-a) dan (x-b).
Misalkan sisa pembagiannya adalah S(x) = Ax + B, karena pembaginya berderajat 2.

P(x) = (x^2 - x - 2) Q(x) + S(x)
P(x) = (x - 2)(x + 1) Q(x) + Ax + B

Sekarang kita cari nilai P(x) pada akar-akar pembaginya:
1. Saat x = 2:
P(2) = 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31
P(2) = (2 - 2)(2 + 1) Q(2) + A(2) + B
P(2) = 0 * 3 * Q(2) + 2A + B
31 = 2A + B  ---- (Persamaan 1)

2. Saat x = -1:
P(-1) = (-1)^5 - 1 = -1 - 1 = -2
P(-1) = (-1 - 2)(-1 + 1) Q(-1) + A(-1) + B
P(-1) = (-3)(0) Q(-1) - A + B
-2 = -A + B   ---- (Persamaan 2)

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear untuk A dan B:
Persamaan 1: 2A + B = 31
Persamaan 2: -A + B = -2

Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
(2A + B) - (-A + B) = 31 - (-2)
2A + B + A - B = 31 + 2
3A = 33
A = 11

Substitusikan nilai A = 11 ke Persamaan 2:
-(11) + B = -2
-11 + B = -2
B = -2 + 11
B = 9

Jadi, sisa pembagiannya adalah S(x) = Ax + B = 11x + 9.

Jawaban Singkat: Sisa pembagian suku banyak P(x)=x^5-1 oleh x^2-x-2 adalah 11x + 9.