Sistem persamaan kuadrat-kuadrat y = x^2 + (c + 1)x + 5 dan

Nilai c yang memenuhi adalah c <= 1 atau c >= 9.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai c yang memenuhi syarat bahwa kedua sistem persamaan kuadrat-kuadrat mempunyai penyelesaian, kita perlu menyamakan kedua persamaan tersebut dan menganalisis diskriminannya.

Persamaan 1: y = x^2 + (c + 1)x + 5
Persamaan 2: y = 2x^2 + 2x + (2c + 3)

Langkah 1: Samakan kedua persamaan.
Karena kedua persamaan sama dengan y, kita bisa menyamakannya:
x^2 + (c + 1)x + 5 = 2x^2 + 2x + (2c + 3)

Langkah 2: Susun persamaan menjadi bentuk kuadrat standar (ax^2 + bx + c = 0).
Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan persamaan kuadrat:
0 = 2x^2 - x^2 + 2x - (c + 1)x + (2c + 3) - 5
0 = x^2 + (2 - (c + 1))x + (2c + 3 - 5)
0 = x^2 + (2 - c - 1)x + (2c - 2)
0 = x^2 + (1 - c)x + (2c - 2)

Langkah 3: Terapkan kondisi mempunyai penyelesaian.
Agar sistem persamaan ini mempunyai penyelesaian, persamaan kuadrat yang dihasilkan (x^2 + (1 - c)x + (2c - 2) = 0) harus memiliki setidaknya satu solusi nyata. Ini berarti diskriminannya (D) harus lebih besar dari atau sama dengan nol (D >= 0).

Diskriminan dihitung dengan rumus D = b^2 - 4ac, di mana:
a = 1
b = 1 - c
c = 2c - 2

Langkah 4: Hitung diskriminan dan tentukan syaratnya.
D = (1 - c)^2 - 4(1)(2c - 2)
D = (1 - 2c + c^2) - (8c - 8)
D = 1 - 2c + c^2 - 8c + 8
D = c^2 - 10c + 9

Agar mempunyai penyelesaian, D >= 0:
c^2 - 10c + 9 >= 0

Langkah 5: Selesaikan pertidaksamaan kuadrat.
Cari akar-akar dari c^2 - 10c + 9 = 0.
Faktorkan persamaan kuadrat:
(c - 1)(c - 9) = 0
Akar-akarnya adalah c = 1 dan c = 9.

Karena koefisien c^2 positif, parabola terbuka ke atas. Pertidaksamaan c^2 - 10c + 9 >= 0 terpenuhi ketika c berada di luar akar-akarnya, yaitu:
c <= 1 atau c >= 9.

Jadi, nilai c yang memenuhi agar sistem persamaan kuadrat-kuadrat tersebut mempunyai penyelesaian adalah c <= 1 atau c >= 9.