Solve the following equations. |x|=|1-x|+1

Himpunan solusi adalah x >= 1.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah |x| = |1-x| + 1. Kita perlu menyelesaikan persamaan ini untuk nilai x. Kita dapat menganalisis kasus berdasarkan definisi nilai mutlak:
Kasus 1: x >= 1. Maka |x| = x dan |1-x| = -(1-x) = x-1. Persamaan menjadi x = (x-1) + 1, yang menyederhanakan menjadi x = x. Ini berarti semua x >= 1 adalah solusi.
Kasus 2: 0 <= x < 1. Maka |x| = x dan |1-x| = 1-x. Persamaan menjadi x = (1-x) + 1, yang menyederhanakan menjadi x = 2-x, atau 2x = 2, sehingga x = 1. Namun, kasus ini mendefinisikan 0 <= x < 1, sehingga x=1 tidak termasuk dalam kasus ini.
Kasus 3: x < 0. Maka |x| = -x dan |1-x| = 1-x. Persamaan menjadi -x = (1-x) + 1, yang menyederhanakan menjadi -x = 2-x, atau 0 = 2. Ini adalah kontradiksi, sehingga tidak ada solusi untuk x < 0.
Sekarang kita perlu mempertimbangkan kasus di mana salah satu atau kedua ekspresi di dalam nilai mutlak bernilai nol. Nilai x=0 dan x=1 adalah titik kritis.
Jika x = 0: |0| = |1-0| + 1 => 0 = 1 + 1 => 0 = 2 (Salah)
Jika x = 1: |1| = |1-1| + 1 => 1 = 0 + 1 => 1 = 1 (Benar)
Dari analisis kasus, kita menemukan bahwa semua nilai x >= 1 adalah solusi. Namun, kita perlu memeriksa kembali Kasus 2. Ketika x=1, persamaan terpenuhi. Mari kita periksa kembali batasnya.
Jika x = 1, |1| = |1-1| + 1 => 1 = 0 + 1 => 1 = 1. Jadi x=1 adalah solusi.
Mari kita periksa kembali Kasus 1: x >= 1. Kita mendapatkan x = x, yang berarti semua nilai x >= 1 adalah solusi.
Sekarang mari kita periksa ulang Kasus 2: 0 <= x < 1. Kita mendapatkan x = 1, yang tidak termasuk dalam rentang ini.
Mari kita periksa ulang Kasus 3: x < 0. Kita mendapatkan 0 = 2, tidak ada solusi.
Namun, kita perlu lebih teliti dalam menguji kasus, terutama pada titik kritis.
Mari kita gunakan metode grafis atau uji nilai.
Alternatif: Kuadratkan kedua sisi jika memungkinkan, tapi karena ada dua nilai mutlak, ini bisa rumit. Coba uji interval:
Interval 1: x < 0. Maka |x| = -x, |1-x| = 1-x. Persamaan: -x = 1-x + 1 => -x = 2-x => 0 = 2 (Tidak ada solusi).
Interval 2: 0 <= x < 1. Maka |x| = x, |1-x| = 1-x. Persamaan: x = 1-x + 1 => x = 2-x => 2x = 2 => x = 1. Nilai x=1 tidak termasuk dalam interval ini.
Interval 3: x >= 1. Maka |x| = x, |1-x| = -(1-x) = x-1. Persamaan: x = x-1 + 1 => x = x. Ini berarti semua x >= 1 adalah solusi.
Namun, harus ada cara yang lebih tepat untuk menangani titik kritis.
Mari kita perhatikan kembali definisi nilai mutlak. Jika kita memiliki |a| = |b| + c, kita bisa memikirkannya secara geometris atau aljabar.
Solusi x = 1 telah terverifikasi.
Jika kita memeriksa x=2: |2| = |1-2| + 1 => 2 = |-1| + 1 => 2 = 1 + 1 => 2 = 2 (Benar).
Jika kita memeriksa x=0.5: |0.5| = |1-0.5| + 1 => 0.5 = |0.5| + 1 => 0.5 = 0.5 + 1 => 0.5 = 1.5 (Salah).
Jika kita memeriksa x=-1: |-1| = |1-(-1)| + 1 => 1 = |2| + 1 => 1 = 2 + 1 => 1 = 3 (Salah).
Kesimpulannya, solusi tampaknya adalah x >= 1. Namun, kita perlu memastikan tidak ada kesalahan dalam analisis kasus.
Mari kita pertimbangkan |x| - |1-x| = 1.
Kasus 1: x < 0. -x - (1-x) = 1 => -x - 1 + x = 1 => -1 = 1 (Salah).
Kasus 2: 0 <= x < 1. x - (1-x) = 1 => x - 1 + x = 1 => 2x - 1 = 1 => 2x = 2 => x = 1. Tidak termasuk dalam interval.
Kasus 3: x >= 1. x - (-(1-x)) = 1 => x - (-1+x) = 1 => x + 1 - x = 1 => 1 = 1. Semua x >= 1 adalah solusi.
Ada yang terlewat dalam peninjauan kasus. Mari kita coba analisis ulang dengan lebih hati-hati.
Titik kritis adalah x = 0 dan x = 1.

Kasus 1: x < 0.
|x| = -x
|1-x| = 1-x (karena 1-x > 1)
Persamaan: -x = (1-x) + 1
-x = 2-x
0 = 2 (Tidak ada solusi)

Kasus 2: 0 <= x <= 1.
|x| = x
|1-x| = 1-x
Persamaan: x = (1-x) + 1
x = 2-x
2x = 2
x = 1
Ini adalah solusi yang valid karena berada dalam rentang 0 <= x <= 1.

Kasus 3: x > 1.
|x| = x
|1-x| = -(1-x) = x-1
Persamaan: x = (x-1) + 1
x = x
Ini berarti semua x > 1 adalah solusi.

Menggabungkan hasil dari Kasus 2 dan Kasus 3, solusi dari persamaan |x| = |1-x| + 1 adalah x = 1 dan semua x > 1. Jadi, himpunan solusinya adalah x >= 1.

Mari kita periksa kembali soalnya, apakah ada kesalahan pengetikan. Jika persamaan adalah |x| = |x-1| + 1, maka analisisnya sama.

Jika soalnya adalah |x-1| = |x| + 1:
Kasus 1: x < 0. -(x-1) = -x + 1 => -x+1 = -x+1. Semua x < 0 adalah solusi.
Kasus 2: 0 <= x < 1. -(x-1) = x + 1 => -x+1 = x+1 => -x = x => 2x = 0 => x = 0. Solusi x = 0.
Kasus 3: x >= 1. x-1 = x + 1 => -1 = 1. Tidak ada solusi.
Himpunan solusi: x <= 0.

Kembali ke soal asli: |x|=|1-x|+1
Kita sudah melakukan analisis yang cukup mendalam. Mari kita coba metode lain untuk konfirmasi.
Misalkan f(x) = |x| dan g(x) = |1-x| + 1.
Kita mencari perpotongan grafik y = f(x) dan y = g(x).
Grafik y = |x| adalah V dengan puncak di (0,0).
Grafik y = |1-x| adalah V dengan puncak di (1,0), terbuka ke kanan (karena |-(x-1)|).
Grafik y = |1-x| + 1 adalah V dengan puncak di (1,1), terbuka ke kanan.

Mari kita bandingkan:
Untuk x < 0: |x| = -x. |1-x|+1 = 1-x+1 = 2-x. -x = 2-x => 0 = 2 (tidak ada solusi).
Untuk 0 <= x <= 1: |x| = x. |1-x|+1 = 1-x+1 = 2-x. x = 2-x => 2x = 2 => x = 1. Solusi x=1.
Untuk x > 1: |x| = x. |1-x|+1 = -(1-x)+1 = x-1+1 = x. x = x. Semua x > 1 adalah solusi.

Hasilnya konsisten: x >= 1.

Periksa kembali interpretasi soal. "Solve the following equations. |x|=|1-x|+1".
Solusi adalah himpunan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.
Kita telah menetapkan bahwa semua nilai x >= 1 memenuhi persamaan tersebut.

Jawaban harus berupa nilai x.
Jika pertanyaan meminta himpunan solusi, maka jawabannya adalah {x | x >= 1}.
Jika diminta nilai spesifik, mungkin ada kekeliruan dalam soal atau konteks.
Asumsi soal meminta himpunan solusi.

Final Answer: Himpunan solusi dari persamaan |x| = |1-x| + 1 adalah x >= 1.