Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum -2 untuk x=3

f(x) = 2x^2 - 12x + 16

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menentukan fungsi kuadrat berdasarkan informasi nilai minimum dan nilai pada titik tertentu.
Misalkan fungsi kuadratnya adalah f(x) = ax^2 + bx + c.

Informasi 1: Fungsi mempunyai nilai minimum -2 untuk x = 3.
Nilai minimum atau maksimum fungsi kuadrat terjadi pada titik puncak (vertex).
Koordinat x dari titik puncak adalah -b/(2a). Jadi, -b/(2a) = 3.
Nilai minimum fungsi adalah nilai f(x) pada titik puncak. Jadi, f(3) = -2.
Substitusikan x=3 ke dalam fungsi: a(3)^2 + b(3) + c = -2  => 9a + 3b + c = -2 (Persamaan 1)
Dari -b/(2a) = 3, kita dapatkan -b = 6a, atau b = -6a (Persamaan 2).

Informasi 2: Untuk x = 0, nilai fungsi itu 16.
Ini berarti f(0) = 16.
Substitusikan x=0 ke dalam fungsi: a(0)^2 + b(0) + c = 16 => c = 16.

Sekarang kita memiliki sistem persamaan:
1) 9a + 3b + c = -2
2) b = -6a
3) c = 16

Substitusikan c = 16 ke Persamaan 1:
9a + 3b + 16 = -2
9a + 3b = -18
Bagi kedua sisi dengan 3:
3a + b = -6 (Persamaan 3)

Sekarang substitusikan Persamaan 2 (b = -6a) ke Persamaan 3:
3a + (-6a) = -6
3a - 6a = -6
-3a = -6
a = -6 / -3
a = 2

Sekarang cari nilai b menggunakan Persamaan 2:
b = -6a = -6(2) = -12.

Jadi, kita mendapatkan a = 2, b = -12, dan c = 16.
Fungsi kuadratnya adalah f(x) = 2x^2 - 12x + 16.

Kita bisa cek kembali:
Nilai minimum pada x=3: f(3) = 2(3)^2 - 12(3) + 16 = 2(9) - 36 + 16 = 18 - 36 + 16 = -18 + 16 = -2. (Benar)
Nilai pada x=0: f(0) = 2(0)^2 - 12(0) + 16 = 0 - 0 + 16 = 16. (Benar)

Jawaban: f(x) = 2x^2 - 12x + 16