Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari.Biaya proyek

Biaya minimum proyek tersebut adalah (10√11 - 30) juta rupiah atau sekitar 3,17 juta rupiah.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan optimasi biaya proyek menggunakan konsep turunan. Biaya proyek per hari dinyatakan dalam fungsi C(x) = x - 30 + 275/x juta rupiah, di mana x adalah jumlah hari penyelesaian proyek.

Untuk mencari biaya minimum, kita perlu mencari nilai x yang membuat turunan pertama dari fungsi biaya (C'(x)) sama dengan nol, lalu memeriksa turunan keduanya untuk memastikan itu adalah minimum.

Turunan pertama dari C(x) adalah:
C'(x) = d/dx (x - 30 + 275x⁻¹)
C'(x) = 1 - 0 - 275x⁻²
C'(x) = 1 - 275/x²

Menetapkan C'(x) = 0 untuk mencari titik kritis:
1 - 275/x² = 0
1 = 275/x²
x² = 275
x = √275

Menyederhanakan √275:
√275 = √(25 * 11) = 5√11

Jadi, nilai x yang mungkin adalah 5√11 hari. Sekarang kita perlu memeriksa apakah ini adalah minimum menggunakan turunan kedua.

Turunan kedua dari C(x) adalah:
C''(x) = d/dx (1 - 275x⁻²)
C''(x) = 0 - (-2) * 275x⁻³
C''(x) = 550/x³

Karena x (jumlah hari) harus positif, C''(x) akan selalu positif. Ini menunjukkan bahwa nilai x = 5√11 memberikan biaya minimum.

Sekarang kita hitung biaya minimum dengan mensubstitusikan x = 5√11 ke dalam fungsi biaya C(x):
C(5√11) = 5√11 - 30 + 275/(5√11)
C(5√11) = 5√11 - 30 + 55/√11

Untuk menyederhanakan 55/√11, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan √11:
55/√11 = (55√11) / 11 = 5√11

Jadi,
C(5√11) = 5√11 - 30 + 5√11
C(5√11) = 10√11 - 30

Nilai √11 ≈ 3,317
Biaya minimum ≈ 10 * 3,317 - 30
Biaya minimum ≈ 33,17 - 30
Biaya minimum ≈ 3,17 juta rupiah.

Jadi, biaya minimum proyek tersebut adalah (10√11 - 30) juta rupiah atau sekitar 3,17 juta rupiah.