Suatu unsur radioaktif yang telah disimpan selama 640 hari

a. Waktu paruh adalah 160 hari. b. Sisa unsur radioaktif adalah 1,5625%.

Pembahasan

Unsur radioaktif meluruh secara eksponensial mengikuti hukum peluruhan radioaktif. Waktu paruh adalah waktu yang dibutuhkan agar setengah dari jumlah awal unsur radioaktif meluruh.

Diketahui bahwa setelah 640 hari, sisa unsur radioaktif adalah 6,25% dari jumlah awal. Kita bisa menggunakan rumus peluruhan radioaktif:
\( N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}} \)

dimana:
- \(N(t)\) adalah jumlah zat radioaktif setelah waktu \(t\).
- \(N_0\) adalah jumlah zat radioaktif awal.
- \(t\) adalah waktu yang telah berlalu (dalam hari).
- \(T\) adalah waktu paruh (dalam hari).

Diketahui \(N(640) = 0,0625 \times N_0\).

Maka:
\(0,0625 N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{640}{T}} \)

Bagi kedua sisi dengan \(N_0\):
\(0,0625 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{640}{T}} \)

Kita tahu bahwa \(0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}\). Dan \(\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4\).

Maka:
\( \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{640}{T}} \)

Karena basisnya sama, eksponennya harus sama:
\( 4 = \frac{640}{T} \)

Untuk mencari \(T\), kita bisa mengatur ulang persamaan:
\( T = \frac{640}{4} \)
\( T = 160 \text{ hari} \)

Jadi, waktu paruh unsur radioaktif tersebut adalah 160 hari.


b. Jika disimpan selama 320 hari lagi, berapa persen unsur radioaktif tersebut yang sisa?

Waktu total yang telah berlalu adalah 640 hari + 320 hari = 960 hari.

Gunakan rumus peluruhan dengan \(t = 960\) hari dan \(T = 160\) hari:
\( N(960) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{960}{160}} \)

\( \frac{960}{160} = 6 \)

\( N(960) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^6 \)

\( \left( \frac{1}{2} \right)^6 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64} \)

\( N(960) = N_0 \times \frac{1}{64} \)

Untuk menghitung persentasenya:
\( \text{Persentase sisa} = \frac{N(960)}{N_0} \times 100\%
\( \text{Persentase sisa} = \frac{1}{64} \times 100\%
\( \text{Persentase sisa} \approx 1,5625\%

Jadi, jika disimpan selama 320 hari lagi (total 960 hari), sisa unsur radioaktif tersebut adalah sekitar 1,5625%.