Suku banyak yang akarnya akar(2)-akar(5) adalah ....

Suku banyak yang akarnya akar(2)-akar(5) adalah x⁴ - 14x² + 9 = 0.

Pembahasan

Untuk mencari suku banyak yang akarnya adalah √2 - √5, kita dapat menggunakan konsep bahwa jika a + b√c adalah akar dari suatu suku banyak, maka a - b√c juga akar.

Namun, di sini kita memiliki bentuk √2 - √5. Kita bisa menganggap ini sebagai akar dari suku banyak kuadrat terlebih dahulu.

Misalkan akar-akarnya adalah x₁ = √2 - √5 dan x₂ = -√2 - √5 (konjugat dari √2 - √5 dengan tanda bagian √2 dibalik).

Jumlah akar (x₁ + x₂) = (√2 - √5) + (-√2 - √5) = -2√5
Perkalian akar (x₁ * x₂) = (√2 - √5)(-√2 - √5) = -(√2 - √5)(√2 + √5) = -( (√2)² - (√5)² ) = -(2 - 5) = -(-3) = 3

Suku banyak kuadratnya adalah x² - (jumlah akar)x + (perkalian akar) = 0
x² - (-2√5)x + 3 = 0
x² + 2√5x + 3 = 0

Ini masih memiliki √5. Mari kita coba pendekatan lain.

Misalkan x = √2 - √5
Pindahkan √2 ke sisi lain: x - √2 = -√5
Kuadratkan kedua sisi:
(x - √2)² = (-√5)²
x² - 2√2x + 2 = 5
Pindahkan semua ke satu sisi:
x² + 2 - 5 = 2√2x
x² - 3 = 2√2x
Kuadratkan lagi kedua sisi untuk menghilangkan akar:
(x² - 3)² = (2√2x)²
x⁴ - 6x² + 9 = (4 * 2)x²
x⁴ - 6x² + 9 = 8x²
Pindahkan semua ke satu sisi:
x⁴ - 6x² - 8x² + 9 = 0
x⁴ - 14x² + 9 = 0

Jadi, suku banyak yang akarnya √2 - √5 adalah x⁴ - 14x² + 9 = 0.