tan^4 x-2sec ^2 x-1<0; 0<x<180 maka nilai x berada pada

(0°, 60°) ∪ (90°, 120°)

Pembahasan

Kita diberikan pertidaksamaan tan^4 x - 2 sec^2 x - 1 < 0, dengan batasan 0 < x < 180 derajat.

Langkah pertama adalah mengubah semua fungsi trigonometri menjadi satu jenis fungsi. Kita tahu bahwa sec^2 x = 1 + tan^2 x.

Substitusikan sec^2 x ke dalam pertidaksamaan:
tan^4 x - 2(1 + tan^2 x) - 1 < 0
tan^4 x - 2 - 2 tan^2 x - 1 < 0
tan^4 x - 2 tan^2 x - 3 < 0

Misalkan y = tan^2 x. Maka pertidaksamaan menjadi:
y^2 - 2y - 3 < 0

Faktorkan pertidaksamaan kuadrat:
(y - 3)(y + 1) < 0

Ini memberikan kita dua kemungkinan kondisi:
1) y - 3 > 0 dan y + 1 < 0  => y > 3 dan y < -1 (tidak mungkin)
2) y - 3 < 0 dan y + 1 > 0  => y < 3 dan y > -1

Jadi, solusinya adalah -1 < y < 3.

Substitusikan kembali y = tan^2 x:
-1 < tan^2 x < 3

Karena tan^2 x selalu non-negatif (lebih besar dari atau sama dengan 0), maka kita hanya perlu mempertimbangkan:
0 ≤ tan^2 x < 3

Ini berarti:
-√3 < tan x < √3

Sekarang kita perlu mencari nilai x dalam interval 0 < x < 180 derajat yang memenuhi kondisi ini.

Nilai tan x = √3 terjadi pada x = 60 derajat.
Nilai tan x = -√3 terjadi pada x = 120 derajat.

Fungsi tan x positif di kuadran I dan negatif di kuadran II.

Untuk -√3 < tan x < √3:
Di kuadran I (0 < x < 90), tan x positif. Jadi, 0 < tan x < √3, yang berarti 0 < x < 60 derajat.
Di kuadran II (90 < x < 180), tan x negatif. Kita perlu -√3 < tan x < 0. Karena tan x = 0 pada x = 180 (tidak termasuk) dan tan x = -√3 pada x = 120, maka intervalnya adalah 90 < x < 120 derajat.

Menggabungkan kedua interval tersebut:
0 < x < 60 derajat atau 90 < x < 120 derajat.

Jadi, nilai x berada pada interval (0°, 60°) ∪ (90°, 120°).