tan A/2+cot A/2 sebanding dengan ....

$2 \csc A$

Pembahasan

Untuk menyederhanakan $\tan \frac{A}{2} + \cot \frac{A}{2}$, kita dapat mengubah $\cot \frac{A}{2}$ menjadi $\frac{1}{\tan \frac{A}{2}}$ atau menggunakan identitas $\cot x = \tan(90^
- x)$.

Cara 1: Mengubah ke sinus dan kosinus
$\tan \frac{A}{2} + \cot \frac{A}{2} = \frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}} + \frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$
Samakan penyebutnya:
$= \frac{\sin^2 \frac{A}{2} + \cos^2 \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2} \sin \frac{A}{2}}$
Gunakan identitas $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ dan identitas sudut ganda $2 \sin x \cos x = \sin 2x$:
$= \frac{1}{\cos \frac{A}{2} \sin \frac{A}{2}}$
Kalikan pembilang dan penyebut dengan 2:
$= \frac{2}{2 \cos \frac{A}{2} \sin \frac{A}{2}}$
$= \frac{2}{\sin (2 \cdot \frac{A}{2})}$
$= \frac{2}{\sin A}$
Karena $\csc x = \frac{1}{\sin x}$, maka:
$= 2 \csc A$

Cara 2: Menggunakan identitas $\cot x = \tan(90^
- x)$
$\tan \frac{A}{2} + \cot \frac{A}{2} = \tan \frac{A}{2} + \tan (90^
- \frac{A}{2})$
Ini tidak langsung menyederhanakan ke bentuk yang diinginkan tanpa langkah lebih lanjut.

Cara 3: Menggunakan identitas $\tan x + \cot x$
Kita tahu bahwa $\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2 \csc 2x$.
Dengan mengganti $x$ dengan $\frac{A}{2}$, kita mendapatkan:
$\tan \frac{A}{2} + \cot \frac{A}{2} = 2 \csc (2 \cdot \frac{A}{2}) = 2 \csc A$.

Jadi, $\tan \frac{A}{2} + \cot \frac{A}{2}$ sebanding dengan $2 \csc A$.