Tentukan batas-batas nilai x agar fungsi berikut memiliki

Untuk f(x)=2x^2+12x-5, batasnya x \<= -3 atau x \>= -3, inversnya f^(-1)(x) = -3 ± √((x + 23) / 2). Untuk f(x)=-2x^2+10x-3, batasnya x \<= 2.5 atau x \>= 2.5, inversnya f^(-1)(x) = (5 ± √(19 - 2x)) / 2.

Pembahasan

Untuk menentukan batas-batas nilai x agar fungsi f(x) = 2x^2 + 12x - 5 memiliki fungsi invers, kita perlu memastikan bahwa fungsi tersebut merupakan fungsi bijektif (satu-satu dan pada). Fungsi kuadrat umumnya tidak bijektif karena memiliki sumbu simetri yang membaginya menjadi dua bagian yang identik. Agar fungsi kuadrat memiliki invers, kita perlu membatasi domainnya pada salah satu sisi sumbu simetri.

Sumbu simetri dari fungsi kuadrat f(x) = ax^2 + bx + c adalah x = -b / 2a.
Untuk f(x) = 2x^2 + 12x - 5:
a = 2, b = 12
Sumbu simetri: x = -12 / (2 * 2) = -12 / 4 = -3.

Jadi, agar f(x) memiliki invers, domainnya harus dibatasi pada x \<= -3 atau x \>= -3.

Untuk mencari invers fungsi f^(-1)(x):
Misalkan y = 2x^2 + 12x - 5
Pindahkan -5 ke kiri: y + 5 = 2x^2 + 12x
Bagi dengan 2: (y + 5) / 2 = x^2 + 6x
Tambahkan 9 di kedua sisi untuk melengkapkan kuadrat: (y + 5) / 2 + 9 = x^2 + 6x + 9
(y + 5 + 18) / 2 = (x + 3)^2
(y + 23) / 2 = (x + 3)^2
Ambil akar kuadrat di kedua sisi: ±√((y + 23) / 2) = x + 3
Pindahkan 3 ke kiri: x = -3 ± √((y + 23) / 2)

Ganti x dengan f^(-1)(y): f^(-1)(y) = -3 ± √((y + 23) / 2)
Ganti y dengan x: f^(-1)(x) = -3 ± √((x + 23) / 2)

Jika domain dibatasi pada x \>= -3, maka kita gunakan tanda positif: f^(-1)(x) = -3 + √((x + 23) / 2).
Jika domain dibatasi pada x \<= -3, maka kita gunakan tanda negatif: f^(-1)(x) = -3 - √((x + 23) / 2).

Untuk f(x) = -2x^2 + 10x - 3:
a = -2, b = 10
Sumbu simetri: x = -10 / (2 * -2) = -10 / -4 = 2.5.

Jadi, agar f(x) memiliki invers, domainnya harus dibatasi pada x \<= 2.5 atau x \>= 2.5.

Untuk mencari invers fungsi f^(-1)(x):
Misalkan y = -2x^2 + 10x - 3
Pindahkan -3 ke kiri: y + 3 = -2x^2 + 10x
Bagi dengan -2: (y + 3) / -2 = x^2 - 5x
Tambahkan (5/2)^2 = 25/4 di kedua sisi untuk melengkapkan kuadrat: (y + 3) / -2 + 25/4 = x^2 - 5x + 25/4
(-2(y + 3) + 25) / 4 = (x - 5/2)^2
(-2y - 6 + 25) / 4 = (x - 5/2)^2
(19 - 2y) / 4 = (x - 5/2)^2
Ambil akar kuadrat di kedua sisi: ±√((19 - 2y) / 4) = x - 5/2
±√(19 - 2y) / 2 = x - 5/2
Pindahkan 5/2 ke kiri: x = 5/2 ± √(19 - 2y) / 2

Ganti x dengan f^(-1)(y): f^(-1)(y) = (5 ± √(19 - 2y)) / 2
Ganti y dengan x: f^(-1)(x) = (5 ± √(19 - 2x)) / 2

Jika domain dibatasi pada x \>= 2.5, maka kita gunakan tanda positif: f^(-1)(x) = (5 + √(19 - 2x)) / 2.
Jika domain dibatasi pada x \<= 2.5, maka kita gunakan tanda negatif: f^(-1)(x) = (5 - √(19 - 2x)) / 2.