Garis 2x+y+4=0 ditranslasikan oleh (-2 5) dilanjutkan

Persamaan bayangannya adalah $2x - 3y + 3 = 0$.

Pembahasan

Untuk mencari persamaan bayangan dari garis $2x+y+4=0$ setelah mengalami dua transformasi, kita perlu menerapkan transformasi tersebut secara berurutan.

**Langkah 1: Translasi**
Garis $2x+y+4=0$ ditranslasikan oleh vektor $(-2, 5)$.
Misalkan titik $(x, y)$ pada garis asli, setelah translasi menjadi $(x', y')$.
$x' = x + (-2) 	\implies x = x' + 2$
$y' = y + 5 	\implies y = y' - 5$

Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke dalam persamaan garis asli:
$2(x' + 2) + (y' - 5) + 4 = 0$
$2x' + 4 + y' - 5 + 4 = 0$
$2x' + y' + 3 = 0$

Jadi, persamaan garis setelah translasi adalah $2x+y+3=0$.

**Langkah 2: Transformasi Matriks**
Persamaan garis hasil translasi, $2x+y+3=0$, ditransformasikan oleh matriks $\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Misalkan titik $(x', y')$ pada garis hasil translasi, setelah transformasi matriks menjadi $(x'', y'')$.
$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' + 2y' \\ y' \end{pmatrix}$

Dari sini kita dapatkan:
$x'' = x' + 2y'$ 
$y'' = y' 	\implies y' = y''$

Kita perlu menyatakan $x'$ dan $y'$ dalam bentuk $x''$ dan $y''$. Dari $y' = y''$, substitusikan ke persamaan $x''$:
$x'' = x' + 2y''$
$x' = x'' - 2y''$

Sekarang, substitusikan $x' = x'' - 2y''$ dan $y' = y''$ ke dalam persamaan garis setelah translasi ($2x'+y'+3=0$):
$2(x'' - 2y'') + y'' + 3 = 0$
$2x'' - 4y'' + y'' + 3 = 0$
$2x'' - 3y'' + 3 = 0$

Jadi, persamaan bayangan akhir adalah $2x - 3y + 3 = 0$.