Tentukan bentuk persamaan oleh dilatasi R dengan sudut

y = -x^2 + 6x - 16

Pembahasan

Untuk menentukan bentuk persamaan dari fungsi y = x^2 - 2x + 6 setelah didilatasi dengan pusat P(2, -1) dan faktor skala -1 (karena sudut 180 derajat berlawanan arah jarum jam), kita perlu melakukan transformasi koordinat.

Misalkan koordinat titik pada kurva asli adalah (x, y) dan koordinat titik setelah dilatasi adalah (x', y').

Rumus dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k adalah:
x' - a = k(x - a)
y' - b = k(y - b)

Dalam kasus ini, pusat dilatasi P(a, b) adalah (2, -1) dan faktor skala k = -1 (karena dilatasi 180 derajat).

x' - 2 = -1(x - 2)
y' - (-1) = -1(y - (-1))

Sekarang kita perlu mengekspresikan x dan y dalam bentuk x' dan y' untuk disubstitusikan ke persamaan asli.

x' - 2 = -x + 2  =>  x = 2 - (x' - 2) = 4 - x'
y' + 1 = -y - 1  =>  y = -1 - (y' + 1) = -2 - y'

Substitusikan x dan y ke dalam persamaan y = x^2 - 2x + 6:

-2 - y' = (4 - x')^2 - 2(4 - x') + 6
-2 - y' = (16 - 8x' + (x')^2) - (8 - 2x') + 6
-2 - y' = 16 - 8x' + (x')^2 - 8 + 2x' + 6
-2 - y' = (x')^2 - 6x' + 14

Sekarang, isolasi y':
-y' = (x')^2 - 6x' + 14 + 2
-y' = (x')^2 - 6x' + 16
y' = -(x')^2 + 6x' - 16

Ganti (x', y') dengan (x, y) untuk mendapatkan persamaan dalam bentuk standar:
y = -x^2 + 6x - 16

Jadi, bentuk persamaan setelah dilatasi adalah y = -x^2 + 6x - 16.