Seorang penjual buah-buahan menggunakan gerobak untuk

Rp200.000,00

Pembahasan

Mari kita selesaikan masalah ini menggunakan konsep program linear.

Misalkan:
Jumlah jeruk yang dijual = x kg
Jumlah mangga yang dijual = y kg

Fungsi tujuan (memaksimalkan laba):
Laba dari jeruk = (Harga Jual Jeruk - Harga Beli Jeruk) * x = (Rp6.500 - Rp5.000) * x = Rp1.500x
Laba dari mangga = (Harga Jual Mangga - Harga Beli Mangga) * y = (Rp8.000 - Rp6.000) * y = Rp2.000y
Fungsi Laba (L) = 1500x + 2000y

Kendala:
1. Modal:
   Modal untuk jeruk = Rp5.000x
   Modal untuk mangga = Rp6.000y
   Total modal = 5000x + 6000y ≤ 600.000
   Disederhanakan: 5x + 6y ≤ 600

2. Kapasitas Gerobak:
   x + y ≤ 110

3. Non-negatif:
   x ≥ 0
   y ≥ 0

Sekarang kita cari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kendala-kendala tersebut.

Titik perpotongan antara kendala:
   a) x = 0, y = 0 -> (0, 0)
   b) x = 0:
      6y ≤ 600 -> y ≤ 100
      y ≤ 110
      Titik: (0, 100)
   c) y = 0:
      5x ≤ 600 -> x ≤ 120
      x ≤ 110
      Titik: (110, 0)
   d) Perpotongan 5x + 6y = 600 dan x + y = 110:
      Dari x + y = 110, maka y = 110 - x.
      Substitusikan ke 5x + 6y = 600:
      5x + 6(110 - x) = 600
      5x + 660 - 6x = 600
      -x = 600 - 660
      -x = -60
      x = 60
      Maka y = 110 - 60 = 50.
      Titik: (60, 50)

Selanjutnya, kita substitusikan titik-titik pojok ke dalam fungsi laba L = 1500x + 2000y:

- Di (0, 0): L = 1500(0) + 2000(0) = 0
- Di (0, 100): L = 1500(0) + 2000(100) = 200.000
- Di (110, 0): L = 1500(110) + 2000(0) = 165.000
- Di (60, 50): L = 1500(60) + 2000(50) = 90.000 + 100.000 = 190.000

Perlu diperiksa apakah titik (110, 0) memenuhi kendala 5x + 6y ≤ 600: 5(110) + 6(0) = 550 ≤ 600 (Memenuhi).
Perlu diperiksa apakah titik (0, 100) memenuhi kendala x + y ≤ 110: 0 + 100 = 100 ≤ 110 (Memenuhi).

Nilai laba maksimum yang diperoleh adalah Rp200.000,00 ketika menjual 0 kg jeruk dan 100 kg mangga.

Namun, mari kita periksa kembali titik (60, 50).
Laba di (60, 50) = 1500(60) + 2000(50) = 90.000 + 100.000 = 190.000.

Kita perlu memastikan bahwa kendala modal dan kapasitas gerobak dipenuhi.
Untuk (0, 100):
Modal: 5(0) + 6(100) = 600 ≤ 600 (Memenuhi)
Kapasitas: 0 + 100 = 100 ≤ 110 (Memenuhi)
Laba: Rp200.000

Untuk (60, 50):
Modal: 5(60) + 6(50) = 300 + 300 = 600 ≤ 600 (Memenuhi)
Kapasitas: 60 + 50 = 110 ≤ 110 (Memenuhi)
Laba: Rp190.000

Untuk (110, 0):
Modal: 5(110) + 6(0) = 550 ≤ 600 (Memenuhi)
Kapasitas: 110 + 0 = 110 ≤ 110 (Memenuhi)
Laba: Rp165.000

Jadi, laba maksimum yang dapat diperoleh penjual tersebut adalah Rp200.000,00.