Tentukan dy/dx dari y=(1+cos(x^2+2x))^(1/4).

dy/dx = - (x+1)sin(x^2+2x) / [2(1+cos(x^2+2x))^(3/4)].

Pembahasan

Untuk menentukan dy/dx dari y=(1+cos(x^2+2x))^(1/4), kita akan menggunakan aturan rantai.

Misalkan u = 1 + cos(x^2+2x) dan y = u^(1/4).
Maka, dy/du = (1/4)u^(-3/4).

Selanjutnya, kita perlu mencari turunan dari u terhadap x. Misalkan v = x^2+2x, sehingga cos(v) = cos(x^2+2x).
Maka, du/dv = -sin(v) dan dv/dx = 2x+2.
Menggunakan aturan rantai lagi, du/dx = du/dv * dv/dx = -sin(x^2+2x) * (2x+2).

Sekarang, kita gabungkan semua bagian menggunakan aturan rantai:
dy/dx = dy/du * du/dx
dy/dx = (1/4)u^(-3/4) * [-sin(x^2+2x) * (2x+2)]

Substitusikan kembali u = 1 + cos(x^2+2x):
dy/dx = (1/4)(1+cos(x^2+2x))^(-3/4) * [-sin(x^2+2x) * (2x+2)]

Kita bisa menyederhanakan ekspresi ini lebih lanjut:
dy/dx = - (2x+2)sin(x^2+2x) / [4(1+cos(x^2+2x))^(3/4)]
dy/dx = - (x+1)sin(x^2+2x) / [2(1+cos(x^2+2x))^(3/4)]