Tentukan nilai integral berikut ini integral pi/6 pi/3 (8

Nilai integralnya adalah $5\sqrt{3} - 5$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tentu dari $\int_{\pi/6}^{\pi/3} (8 \sin x + 2 \cos x) dx$, kita perlu mencari antiturunan dari fungsi $(8 \sin x + 2 \cos x)$ terlebih dahulu, kemudian mengevaluasinya pada batas atas dan batas bawah.

Antiturunan dari $8 \sin x$ adalah $-8 \cos x$.
Antiturunan dari $2 \cos x$ adalah $2 \sin x$.

Jadi, antiturunan dari $(8 \sin x + 2 \cos x)$ adalah $-8 \cos x + 2 \sin x$.

Sekarang, kita evaluasi antiturunan ini pada batas atas $(\pi/3)$ dan batas bawah $(\pi/6)$: 

[$-8 \cos x + 2 \sin x]_{\pi/6}^{\pi/3}$

= $(-8 \cos(\pi/3) + 2 \sin(\pi/3)) - (-8 \cos(\pi/6) + 2 \sin(\pi/6))$

Kita tahu bahwa:
$\cos(\pi/3) = 1/2$
$\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$
$\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2$
$\sin(\pi/6) = 1/2$

Substitusikan nilai-nilai ini:

= $(-8(1/2) + 2(\sqrt{3}/2)) - (-8(\sqrt{3}/2) + 2(1/2))$

= $(-4 + \sqrt{3}) - (-4\sqrt{3} + 1)$

= $-4 + \sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 1$

= $-5 + 5\sqrt{3}$

Jadi, nilai integralnya adalah $5\sqrt{3} - 5$.