Tentukan fungsi f(x), jika diketahui:f'(x)=(3-2 x+x^2) dan

f(x) = x³/3 - x² + 3x

Pembahasan

Kita diberikan informasi mengenai turunan pertama dari fungsi f(x), yaitu f'(x) = 3 - 2x + x², dan nilai fungsi pada titik tertentu, f(3) = 9.

Untuk menemukan fungsi f(x), kita perlu mengintegralkan f'(x) terhadap x:

f(x) = ∫ f'(x) dx
f(x) = ∫ (3 - 2x + x²) dx

Melakukan integrasi suku demi suku:
∫ 3 dx = 3x
∫ -2x dx = -2 * (x²/2) = -x²
∫ x² dx = x³/3

Jadi, hasil integralnya adalah:
f(x) = 3x - x² + x³/3 + C

Di sini, C adalah konstanta integrasi.

Untuk mencari nilai C, kita gunakan informasi f(3) = 9. Substitusikan x = 3 ke dalam persamaan f(x):

f(3) = 3(3) - (3)² + (3)³/3 + C
9 = 9 - 9 + 27/3 + C
9 = 0 + 9 + C
9 = 9 + C

Dari persamaan ini, kita dapatkan C = 9 - 9 = 0.

Setelah mengetahui nilai C, kita dapat menuliskan fungsi f(x) secara lengkap:
f(x) = 3x - x² + x³/3 + 0
f(x) = 3x - x² + x³/3

Jadi, fungsi f(x) adalah f(x) = x³/3 - x² + 3x.