Tentukan himpunan penyelesaian dari: |(3x+2)/(3x-1)|>=3

Himpunan penyelesaiannya adalah [1/12, 1/3) ∪ (1/3, 5/6].

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |(3x+2)/(3x-1)| ≥ 3, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan bentuk |A| ≥ B atau |A| ≤ B:
   |(3x+2)/(3x-1)| - 3 ≥ 0

2. Gunakan sifat nilai mutlak, yaitu |a/b| = |a|/|b|:
   |3x+2| / |3x-1| ≥ 3

3. Kalikan kedua sisi dengan |3x-1| (dengan asumsi 3x-1 ≠ 0, yaitu x ≠ 1/3):
   |3x+2| ≥ 3|3x-1|

4. Kuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan nilai mutlak:
   (3x+2)² ≥ (3(3x-1))²
   (3x+2)² ≥ (9x-3)²

5. Pindahkan semua suku ke satu sisi dan faktorkan menggunakan selisih kuadrat (a² - b² = (a-b)(a+b)):
   (3x+2)² - (9x-3)² ≥ 0
   [(3x+2) - (9x-3)] * [(3x+2) + (9x-3)] ≥ 0
   (3x+2 - 9x+3) * (3x+2 + 9x-3) ≥ 0
   (-6x+5) * (12x-1) ≥ 0

6. Tentukan pembuat nol dari setiap faktor:
   -6x + 5 = 0  =>  x = 5/6
   12x - 1 = 0  =>  x = 1/12

7. Uji interval yang dibentuk oleh pembuat nol pada garis bilangan:
   Intervalnya adalah (-∞, 1/12], [1/12, 5/6], dan [5/6, ∞).
   - Untuk x < 1/12 (misal x=0): (-6(0)+5)(12(0)-1) = (5)(-1) = -5 (negatif, tidak memenuhi)
   - Untuk 1/12 < x < 5/6 (misal x=0.5): (-6(0.5)+5)(12(0.5)-1) = (-3+5)(6-1) = (2)(5) = 10 (positif, memenuhi)
   - Untuk x > 5/6 (misal x=1): (-6(1)+5)(12(1)-1) = (-1)(11) = -11 (negatif, tidak memenuhi)

8. Periksa kembali syarat awal bahwa x ≠ 1/3. Nilai 1/3 berada di antara 1/12 dan 5/6, jadi interval [1/12, 5/6] sudah mencakupnya.

Himpunan penyelesaiannya adalah interval di mana hasil perkaliannya positif atau nol, yaitu [1/12, 5/6]. Namun, kita perlu memastikan bahwa penyebut (3x-1) tidak sama dengan nol, yang berarti x ≠ 1/3. Karena 1/3 berada dalam interval [1/12, 5/6], kita perlu mengecualikannya jika diperlukan. Mari kita periksa kembali soalnya, yaitu "≥ 3". Ini berarti nilai di mana penyebutnya nol tidak boleh menjadi bagian dari solusi.

Mari kita analisis kembali langkah 5 dan 7.
Kita memiliki (-6x+5)(12x-1) ≥ 0.
Pembuat nol adalah x = 1/12 dan x = 5/6.

Jika x = 1/12, maka |(3(1/12)+2)/(3(1/12)-1)| = |(1/4+2)/(1/4-1)| = |(9/4)/(-3/4)| = |-3| = 3. Jadi x=1/12 termasuk.
Jika x = 5/6, maka |(3(5/6)+2)/(3(5/6)-1)| = |(5/2+2)/(5/2-1)| = |(9/2)/(3/2)| = |3| = 3. Jadi x=5/6 termasuk.

Hasil tes interval menunjukkan bahwa (-6x+5)(12x-1) ≥ 0 untuk 1/12 ≤ x ≤ 5/6.
Karena syarat 3x-1 ≠ 0 (x ≠ 1/3), dan 1/3 adalah 4/12, yang berada dalam interval [1/12, 5/6], maka kita harus mengecualikan x = 1/3.

Himpunan penyelesaiannya adalah [1/12, 1/3) ∪ (1/3, 5/6].