Tentukan himpunan penyelesaian persa- maan berikut untuk

x ≈ 40.89° dan x ≈ 220.89°

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian persamaan 2cos(x + 30°) = sin x untuk 0° <= x <= 360°, kita dapat menggunakan identitas trigonometri. Ubah persamaan menjadi bentuk yang lebih mudah dikelola. Salah satu cara adalah dengan menggunakan rumus jumlah/selisih sudut untuk cos(x + 30°) yaitu cos x cos 30° - sin x sin 30°. Maka, 2(cos x * √3/2 - sin x * 1/2) = sin x. Ini menyederhanakan menjadi √3 cos x - sin x = sin x. Pindahkan sin x ke sisi kanan: √3 cos x = 2 sin x. Bagi kedua sisi dengan cos x (dengan asumsi cos x ≠ 0) dan bagi kedua sisi dengan 2: √3/2 = sin x / cos x, atau tan x = √3/2. Nilai x yang memenuhi tan x = √3/2 dalam rentang 0° hingga 360° adalah x ≈ 40.89° dan x ≈ 220.89°. Namun, kita perlu memeriksa kembali apakah ada penyelesaian lain atau jika ada asumsi yang salah dibuat. Jika kita membagi dengan sin x, kita mendapatkan √3 cot x = 2, atau cot x = 2/√3, yang memberikan hasil yang sama. Mari kita coba pendekatan lain. Kuadratkan kedua sisi dari √3 cos x = 2 sin x: 3 cos²x = 4 sin²x. Gunakan identitas sin²x + cos²x = 1, sehingga sin²x = 1 - cos²x. Maka, 3 cos²x = 4(1 - cos²x) = 4 - 4 cos²x. Ini menjadi 7 cos²x = 4, sehingga cos²x = 4/7. cos x = ±2/√7. Jika cos x = 2/√7, x ≈ 40.89° dan x ≈ 319.11°. Jika cos x = -2/√7, x ≈ 139.11° dan x ≈ 220.89°. Sekarang kita perlu memeriksa kembali ke persamaan awal 2cos(x + 30°) = sin x. Setelah pengujian, penyelesaian yang valid adalah x ≈ 40.89° dan x ≈ 220.89°.