Tentukan:integral 2 x^2/(3-2 x)^5 dx

\frac{9}{16(3-2x)^4} - \frac{1}{2(3-2x)^3} + \frac{1}{8(3-2x)^2} + C

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral \int \frac{2x^2}{(3-2x)^5} dx, kita dapat menggunakan metode substitusi. Misalkan u = 3 - 2x, maka du = -2 dx atau dx = -1/2 du. Dari u = 3 - 2x, kita dapatkan 2x = 3 - u, sehingga x = (3 - u) / 2. Mengganti nilai-nilai ini ke dalam integral:

\int \frac{2((\frac{3-u}{2})^2)}{u^5} (-\frac{1}{2} du)
= \int \frac{2(\frac{9 - 6u + u^2}{4})}{u^5} (-\frac{1}{2} du)
= \int \frac{\frac{9 - 6u + u^2}{2}}{u^5} (-\frac{1}{2} du)
= \int -\frac{1}{4} \frac{9 - 6u + u^2}{u^5} du
= -\frac{1}{4} \int (9u^{-5} - 6u^{-4} + u^{-3}) du
= -\frac{1}{4} [\frac{9u^{-4}}{-4} - \frac{6u^{-3}}{-3} + \frac{u^{-2}}{-2}] + C
= -\frac{1}{4} [-\frac{9}{4u^4} + \frac{2}{u^3} - \frac{1}{2u^2}] + C
= \frac{9}{16u^4} - \frac{2}{4u^3} + \frac{1}{8u^2} + C
= \frac{9}{16u^4} - \frac{1}{2u^3} + \frac{1}{8u^2} + C

Substitusikan kembali u = 3 - 2x:

= \frac{9}{16(3-2x)^4} - \frac{1}{2(3-2x)^3} + \frac{1}{8(3-2x)^2} + C