Tentukan integral berikut.a. integral 2x sin x^2 dx b.

a. -cos(x^2) + C, b. 0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral-integral berikut:

a. \(\int 2x \sin(x^2) dx\)
Kita gunakan metode substitusi. Misalkan \(u = x^2\), maka \(du = 2x dx\).
Substitusikan ke dalam integral:
\(\int \sin(u) du\)
Integralkan terhadap \(u\):
\(= -\cos(u) + C\)
Substitusikan kembali \(u = x^2\):
\(= -\cos(x^2) + C\)

b. \(\int_0^{\pi/4} \cos(4x + \pi) dx\)
Kita gunakan metode substitusi. Misalkan \(v = 4x + \pi\), maka \(dv = 4 dx\), atau \(dx = \frac{1}{4} dv\).

Kita juga perlu mengubah batas integral:
Ketika \(x = 0\), \(v = 4(0) + \pi = \pi\).
Ketika \(x = \pi/4\), \(v = 4(\pi/4) + \pi = \pi + \pi = 2\pi\).

Substitusikan ke dalam integral:
\(\int_{\pi}^{2\pi} \cos(v) \left(\frac{1}{4} dv\right)\)
\(= \frac{1}{4} \int_{\pi}^{2\pi} \cos(v) dv\)

Integralkan terhadap \(v\):
\(= \frac{1}{4} [\sin(v)]_{\pi}^{2\pi}\)

Evaluasi pada batas atas dan bawah:
\(= \frac{1}{4} (\sin(2\pi) - \sin(\pi))\)
\(= \frac{1}{4} (0 - 0)\)
\(= 0\)

Jadi, hasil dari \(\int 2x \sin(x^2) dx\) adalah \(-\cos(x^2) + C\), dan hasil dari \(\int_0^{\pi/4} \cos(4x + \pi) dx\) adalah 0.