Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathKalkulus

Tentukan interval naik dan turun untuk 0<x<2pi Dari

Pertanyaan

Tentukan interval naik dan turun untuk $0 < x < 2 extrm{pi}$ dari $f(x) = x - extrm{sin}(2x)$.

Solusi

Verified

Interval naik: $( rac{ extrm{pi}}{6}, rac{5 extrm{pi}}{6})$ dan $( rac{7 extrm{pi}}{6}, rac{11 extrm{pi}}{6})$. Interval turun: $(0, rac{ extrm{pi}}{6})$, $( rac{5 extrm{pi}}{6}, rac{7 extrm{pi}}{6})$, dan $( rac{11 extrm{pi}}{6}, 2 extrm{pi})$.

Pembahasan

Untuk menentukan interval naik dan turun dari fungsi $f(x) = x - extrm{sin}(2x)$ pada interval $0 < x < 2 extrm{pi}$, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut, yaitu $f'(x)$, dan menentukan kapan $f'(x) > 0$ (naik) dan kapan $f'(x) < 0$ (turun). Langkah 1: Cari turunan pertama $f'(x)$. $f(x) = x - extrm{sin}(2x)$ Turunan dari $x$ adalah 1. Turunan dari $- extrm{sin}(2x)$ adalah $-( extrm{cos}(2x) imes 2) = -2 extrm{cos}(2x)$. Jadi, $f'(x) = 1 - 2 extrm{cos}(2x)$. Langkah 2: Tentukan kapan $f'(x) = 0$ untuk mencari titik kritis. $1 - 2 extrm{cos}(2x) = 0$ $2 extrm{cos}(2x) = 1$ $ extrm{cos}(2x) = rac{1}{2}$ Kita tahu bahwa $ extrm{cos}( heta) = rac{1}{2}$ ketika $ heta = rac{ extrm{pi}}{3}$ atau $ heta = rac{5 extrm{pi}}{3}$ (dalam interval $0$ sampai $2 extrm{pi}$). Karena kita memiliki $2x$, maka kita perlu mencari nilai $2x$ sehingga $ extrm{cos}(2x) = rac{1}{2}$. Dalam interval $0 < 2x < 4 extrm{pi}$, nilai-nilai $2x$ adalah: $2x = rac{ extrm{pi}}{3}, rac{5 extrm{pi}}{3}, rac{ extrm{pi}}{3} + 2 extrm{pi}, rac{5 extrm{pi}}{3} + 2 extrm{pi}$ $2x = rac{ extrm{pi}}{3}, rac{5 extrm{pi}}{3}, rac{7 extrm{pi}}{3}, rac{11 extrm{pi}}{3}$ Sekarang, bagi dengan 2 untuk mendapatkan nilai $x$: $x = rac{ extrm{pi}}{6}, rac{5 extrm{pi}}{6}, rac{7 extrm{pi}}{6}, rac{11 extrm{pi}}{6}$. Titik-titik kritis ini membagi interval $0 < x < 2 extrm{pi}$ menjadi beberapa sub-interval: $(0, rac{ extrm{pi}}{6})$, $( rac{ extrm{pi}}{6}, rac{5 extrm{pi}}{6})$, $( rac{5 extrm{pi}}{6}, rac{7 extrm{pi}}{6})$, $( rac{7 extrm{pi}}{6}, rac{11 extrm{pi}}{6})$, $( rac{11 extrm{pi}}{6}, 2 extrm{pi})$. Langkah 3: Uji tanda $f'(x)$ di setiap sub-interval. Ambil nilai uji dari setiap interval: - Interval $(0, rac{ extrm{pi}}{6})$: Ambil $x = rac{ extrm{pi}}{12}$. $f'( rac{ extrm{pi}}{12}) = 1 - 2 extrm{cos}(2 imes rac{ extrm{pi}}{12}) = 1 - 2 extrm{cos}( rac{ extrm{pi}}{6}) = 1 - 2( rac{ extrm{akar}(3)}{2}) = 1 - extrm{akar}(3)$. Karena $ extrm{akar}(3) extrm{sekitar } 1.732$, maka $1 - extrm{akar}(3) < 0$. Jadi, $f(x)$ turun. - Interval $( rac{ extrm{pi}}{6}, rac{5 extrm{pi}}{6})$: Ambil $x = rac{ extrm{pi}}{2}$. $f'( rac{ extrm{pi}}{2}) = 1 - 2 extrm{cos}(2 imes rac{ extrm{pi}}{2}) = 1 - 2 extrm{cos}( extrm{pi}) = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$. Karena $3 > 0$, maka $f(x)$ naik. - Interval $( rac{5 extrm{pi}}{6}, rac{7 extrm{pi}}{6})$: Ambil $x = extrm{pi}$. $f'( extrm{pi}) = 1 - 2 extrm{cos}(2 imes extrm{pi}) = 1 - 2 extrm{cos}(2 extrm{pi}) = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1$. Karena $-1 < 0$, maka $f(x)$ turun. - Interval $( rac{7 extrm{pi}}{6}, rac{11 extrm{pi}}{6})$: Ambil $x = rac{3 extrm{pi}}{2}$. $f'( rac{3 extrm{pi}}{2}) = 1 - 2 extrm{cos}(2 imes rac{3 extrm{pi}}{2}) = 1 - 2 extrm{cos}(3 extrm{pi}) = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$. Karena $3 > 0$, maka $f(x)$ naik. - Interval $( rac{11 extrm{pi}}{6}, 2 extrm{pi})$: Ambil $x = rac{23 extrm{pi}}{12}$. $f'( rac{23 extrm{pi}}{12}) = 1 - 2 extrm{cos}(2 imes rac{23 extrm{pi}}{12}) = 1 - 2 extrm{cos}( rac{23 extrm{pi}}{6}) = 1 - 2 extrm{cos}( rac{23 extrm{pi}}{6} - 4 extrm{pi}) = 1 - 2 extrm{cos}(- rac{ extrm{pi}}{6}) = 1 - 2 extrm{cos}( rac{ extrm{pi}}{6}) = 1 - 2( rac{ extrm{akar}(3)}{2}) = 1 - extrm{akar}(3)$. Karena $1 - extrm{akar}(3) < 0$, maka $f(x)$ turun. Langkah 4: Tentukan interval naik dan turun. - Interval naik: $f'(x) > 0$ $( rac{ extrm{pi}}{6}, rac{5 extrm{pi}}{6})$ dan $( rac{7 extrm{pi}}{6}, rac{11 extrm{pi}}{6})$ - Interval turun: $f'(x) < 0$ $(0, rac{ extrm{pi}}{6})$, $( rac{5 extrm{pi}}{6}, rac{7 extrm{pi}}{6})$, dan $( rac{11 extrm{pi}}{6}, 2 extrm{pi})$
Topik: Turunan Fungsi
Section: Kemonotonan Fungsi

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...