Tentukan interval x sehingga grafik f(x)=sin (x-pi/6)

Intervalnya adalah (π/6, π].

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana grafik f(x) = sin(x - π/6) cekung ke bawah pada interval 0 ≤ x ≤ π, kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi tersebut dan menentukan kapan turunan kedua bernilai negatif.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).

f(x) = sin(x - π/6)

f'(x) = d/dx [sin(x - π/6)]
Misalkan u = x - π/6, maka du/dx = 1.

f'(x) = cos(u) * du/dx
f'(x) = cos(x - π/6) * 1
f'(x) = cos(x - π/6)

Langkah 2: Cari turunan kedua f''(x).

f''(x) = d/dx [cos(x - π/6)]
Misalkan v = x - π/6, maka dv/dx = 1.

f''(x) = -sin(v) * dv/dx
f''(x) = -sin(x - π/6) * 1
f''(x) = -sin(x - π/6)

Langkah 3: Tentukan kapan f''(x) < 0 (cekung ke bawah).

-sin(x - π/6) < 0
sin(x - π/6) > 0

Kita perlu mencari nilai-nilai x dalam interval 0 ≤ x ≤ π sehingga sin(x - π/6) positif.

Misalkan θ = x - π/6. Maka interval untuk θ adalah:
Saat x = 0, θ = 0 - π/6 = -π/6
Saat x = π, θ = π - π/6 = 5π/6
Jadi, kita mencari θ dalam interval -π/6 ≤ θ ≤ 5π/6 sehingga sin(θ) > 0.

Fungsi sinus positif pada kuadran I dan II. Dalam interval [-π/6, 5π/6], sin(θ) positif ketika:
0 < θ < π

Sekarang kita substitusikan kembali θ = x - π/6:
0 < x - π/6 < π

Tambahkan π/6 ke semua bagian ketidaksamaan:
0 + π/6 < x < π + π/6
π/6 < x < 7π/6

Langkah 4: Terapkan batasan interval asli (0 ≤ x ≤ π).

Kita perlu mencari irisan dari interval (π/6, 7π/6) dengan interval [0, π].

Interval (π/6, 7π/6) berarti x > π/6 dan x < 7π/6.
Interval [0, π] berarti x ≥ 0 dan x ≤ π.

Irisannya adalah π/6 < x ≤ π.

Jadi, grafik f(x) = sin(x - π/6) cekung ke bawah pada interval (π/6, π].