Tentukan invers dari fungsi-fungsi berikut. f(x)=x^2+2x-10,

f^-1(x) = -1 ± √(x + 11), dengan domain x ≥ -11.

Pembahasan

Untuk menentukan invers dari fungsi f(x) = x^2 + 2x - 10, di mana x adalah anggota bilangan real, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Ganti f(x) dengan y:**
y = x^2 + 2x - 10

2.  **Tukar variabel x dan y:**
x = y^2 + 2y - 10

3.  **Selesaikan persamaan untuk y:**
Kita perlu mengisolasi y. Persamaan ini adalah persamaan kuadrat dalam y. Untuk menyelesaikannya, kita bisa menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna.

Pindahkan konstanta ke sisi kiri:
x + 10 = y^2 + 2y

Untuk melengkapkan kuadrat pada sisi kanan (y^2 + 2y), kita perlu menambahkan (b/2)^2, di mana b adalah koefisien y, yaitu 2. Jadi, tambahkan (2/2)^2 = 1^2 = 1 ke kedua sisi:
x + 10 + 1 = y^2 + 2y + 1
x + 11 = (y + 1)^2

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
±√(x + 11) = y + 1

Isolasi y:
y = -1 ± √(x + 11)

4.  **Tentukan domain dan range untuk invers.**
Fungsi asli f(x) = x^2 + 2x - 10 adalah parabola yang terbuka ke atas. Titik puncaknya dapat ditemukan dengan rumus x = -b/(2a) = -2/(2*1) = -1. Nilai minimum f(x) adalah f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 10 = 1 - 2 - 10 = -11.
Jadi, range dari f(x) adalah [-11, ∞).

Domain dari fungsi invers f^-1(x) adalah range dari f(x), yaitu x ≥ -11.

Karena fungsi asli f(x) = x^2 + 2x - 10 tidak memiliki invers yang unik pada seluruh bilangan real (karena merupakan fungsi kuadrat yang tidak injektif), biasanya kita membatasi domain f(x) agar memiliki invers. Jika domain f(x) dibatasi, misalnya x ≥ -1, maka range dari f^-1(x) adalah y ≥ -1. Dalam kasus ini, kita ambil tanda positif: y = -1 + √(x + 11).

Jika domain f(x) dibatasi x ≤ -1, maka range dari f^-1(x) adalah y ≤ -1. Dalam kasus ini, kita ambil tanda negatif: y = -1 - √(x + 11).

Karena soal tidak menyebutkan pembatasan domain pada f(x), secara teknis fungsi ini tidak memiliki invers yang unik pada seluruh bilangan real. Namun, jika kita diminta untuk mencari bentuk inversnya dengan menganggap pembatasan domain yang sesuai, maka:

Bentuk inversnya adalah f^-1(x) = -1 ± √(x + 11), dengan domain x ≥ -11.

Jika kita mengasumsikan domain f(x) adalah x ≥ -1 (agar menjadi fungsi injektif), maka:
f^-1(x) = -1 + √(x + 11)

Jika kita mengasumsikan domain f(x) adalah x ≤ -1 (agar menjadi fungsi injektif), maka:
f^-1(x) = -1 - √(x + 11)