Tentukan jarak terjauh dan jarak terdekat dari titik

Jarak terjauh 32, jarak terdekat 8.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak terjauh dan terdekat dari titik A(-9,6) ke lingkaran dengan persamaan x^2+y^2-14x+12y-59=0, kita perlu melakukan beberapa langkah:

1.  **Mencari pusat dan jari-jari lingkaran:**
    Persamaan lingkaran umum adalah (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2, di mana (h,k) adalah pusat dan r adalah jari-jari.
    Kita ubah persamaan lingkaran yang diberikan ke bentuk umum:
    x^2 - 14x + y^2 + 12y = 59
    Lengkapi kuadrat untuk x: (x^2 - 14x + 49) - 49
    Lengkapi kuadrat untuk y: (y^2 + 12y + 36) - 36
    Jadi, (x - 7)^2 - 49 + (y + 6)^2 - 36 = 59
    (x - 7)^2 + (y + 6)^2 = 59 + 49 + 36
    (x - 7)^2 + (y + 6)^2 = 144
    Dari sini, kita dapatkan pusat lingkaran P(7, -6) dan jari-jari r = \u221a144 = 12.

2.  **Menghitung jarak antara titik A dan pusat lingkaran P:**
    Jarak AP dapat dihitung menggunakan rumus jarak antara dua titik: \u221a((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)
    AP = \u221a((7 - (-9))^2 + (-6 - 6)^2)
    AP = \u221a((7 + 9)^2 + (-12)^2)
    AP = \u221a(16^2 + 144)
    AP = \u221a(256 + 144)
    AP = \u221a400
    AP = 20

3.  **Menentukan jarak terdekat dan terjauh:**
    Jarak terdekat dari titik A ke lingkaran adalah jarak AP dikurangi jari-jari (r).
    Jarak terdekat = AP - r = 20 - 12 = 8.
    Jarak terjauh dari titik A ke lingkaran adalah jarak AP ditambah jari-jari (r).
    Jarak terjauh = AP + r = 20 + 12 = 32.

Jadi, jarak terjauh adalah 32 satuan dan jarak terdekat adalah 8 satuan.