Tentukan koefisien diferensial untuk setiap fungsi berikut.

a. p'(t) = -6(t+1)^2 / (t-1)^4, b. f'(x) = -2 / (x^2 * sqrt(x^2+2))

Pembahasan

Untuk menentukan koefisien diferensial (turunan) dari fungsi-fungsi yang diberikan, kita akan menggunakan aturan-aturan turunan.

a. p(t) = ((t+1)/(t-1))^3
Kita gunakan aturan rantai dan aturan hasil bagi.
Misalkan u = (t+1)/(t-1). Maka p(t) = u^3.
dp/dt = dp/du * du/dt

dp/du = 3u^2 = 3 * ((t+1)/(t-1))^2

Untuk du/dt, kita gunakan aturan hasil bagi: d/dt [f(t)/g(t)] = [f'(t)g(t) - f(t)g'(t)] / [g(t)]^2
Misalkan f(t) = t+1, maka f'(t) = 1.
Misalkan g(t) = t-1, maka g'(t) = 1.

du/dt = [1*(t-1) - (t+1)*1] / (t-1)^2
du/dt = [t - 1 - t - 1] / (t-1)^2
du/dt = -2 / (t-1)^2

Sekarang kita gabungkan:
dp/dt = 3 * ((t+1)/(t-1))^2 * (-2 / (t-1)^2)
dp/dt = -6 * (t+1)^2 / (t-1)^2 * 1 / (t-1)^2
dp/dt = -6(t+1)^2 / (t-1)^4

b. f(x) = (x^2+2)^(1/2) / x
Kita gunakan aturan hasil bagi.
Misalkan u(x) = (x^2+2)^(1/2) dan v(x) = x.

Turunan dari u(x) menggunakan aturan rantai:
du/dx = (1/2)(x^2+2)^(-1/2) * (2x) = x / (x^2+2)^(1/2)

Turunan dari v(x):
dv/dx = 1

Menggunakan aturan hasil bagi: f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2

f'(x) = [ (x / (x^2+2)^(1/2)) * x - (x^2+2)^(1/2) * 1 ] / x^2

Untuk menyederhanakan, kita samakan penyebut di bagian pembilang:

f'(x) = [ (x^2 / (x^2+2)^(1/2)) - (x^2+2)^(1/2) ] / x^2

Kalikan pembilang dan penyebut dengan (x^2+2)^(1/2) untuk menghilangkan akar di penyebut pembilang:

f'(x) = [ x^2 - (x^2+2) ] / [ x^2 * (x^2+2)^(1/2) ]
f'(x) = [ x^2 - x^2 - 2 ] / [ x^2 * (x^2+2)^(1/2) ]
f'(x) = -2 / [ x^2 * (x^2+2)^(1/2) ]

Jadi, koefisien diferensialnya adalah:
a. p'(t) = -6(t+1)^2 / (t-1)^4
b. f'(x) = -2 / (x^2 * sqrt(x^2+2))