Tentukan limit dari...lim x->1 (x^4-1)/(x^2-1)

Nilai limitnya adalah 2.

Pembahasan

Untuk menentukan limit dari \(\lim_{x \to 1} \frac{x^4-1}{x^2-1}\), kita bisa menggunakan beberapa metode. Jika kita langsung substitusi x=1, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Metode 1: Faktorisasi
Kita bisa memfaktorkan pembilang dan penyebut:
Pembilang: \(x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)\)
Penyebut: \(x^2 - 1\)

Maka, limitnya menjadi:
\(\lim_{x \to 1} \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2 - 1}\)
Karena \(x \to 1\), maka \(x^2 - 1 \neq 0\), sehingga kita bisa mencoret \((x^2 - 1)\) dari pembilang dan penyebut:
\(\lim_{x \to 1} (x^2 + 1)\)
Sekarang, substitusi x=1:
\(1^2 + 1 = 1 + 1 = 2\)

Metode 2: Aturan L'Hopital
Karena substitusi langsung menghasilkan bentuk 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital. Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah terhadap x:
Turunan pembilang \((x^4 - 1)\) adalah \(4x^3\).
Turunan penyebut \((x^2 - 1)\) adalah \(2x\).

Maka, limitnya menjadi:
\(\lim_{x \to 1} \frac{4x^3}{2x}\)
Sekarang, substitusi x=1:
\(\frac{4(1)^3}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2\)

Kedua metode memberikan hasil yang sama.