Tentukan limit fungsi yang diberikan. lim x->0 (sin x sin

Nilai limitnya adalah 3/8.

Pembahasan

Untuk menentukan limit fungsi $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \sin 3x}{1-\cos 4x}$, kita dapat menggunakan beberapa metode, termasuk aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar dengan identitas trigonometri.

Metode 1: Menggunakan Aturan L'Hôpital
Karena saat $x \to 0$, $\sin x \to 0$, $\sin 3x \to 0$, dan $1-\cos 4x \to 1-\cos 0 = 1-1 = 0$, maka kita memiliki bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$. Kita dapat menerapkan aturan L'Hôpital:

Turunan dari pembilang $(\sin x \sin 3x)$: Gunakan aturan perkalian. Turunan dari $\sin x$ adalah $\cos x$ dan turunan dari $\sin 3x$ adalah $3\cos 3x$. Jadi, turunannya adalah $(\cos x)(\sin 3x) + (\sin x)(3\cos 3x)$.

Turunan dari penyebut $(1-\cos 4x)$: Turunan dari $1$ adalah $0$ dan turunan dari $-\cos 4x$ adalah $- (-\sin 4x) \cdot 4 = 4\sin 4x$.

Menerapkan aturan L'Hôpital:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{(\cos x)(\sin 3x) + (\sin x)(3\cos 3x)}{4\sin 4x} $$
Saat $x \to 0$, $\cos x \to 1$, $\sin 3x \to 0$, $\sin x \to 0$, $\cos 3x \to 1$, $\sin 4x \to 0$. Ini masih menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$. Terapkan aturan L'Hôpital lagi.

Turunan dari pembilang $(\cos x)(\sin 3x) + 3(\sin x)(\cos 3x)$: 
Turunan dari $(\cos x)(\sin 3x)$ adalah $(-\sin x)(\sin 3x) + (\cos x)(3\cos 3x) = -\sin x \sin 3x + 3\cos x \cos 3x$.
Turunan dari $3(\sin x)(\cos 3x)$ adalah $3[(\cos x)(\cos 3x) + (\sin x)(-3\sin 3x)] = 3\cos x \cos 3x - 9\sin x \sin 3x$.
Jadi, turunan pembilang adalah $(-\sin x \sin 3x + 3\cos x \cos 3x) + (3\cos x \cos 3x - 9\sin x \sin 3x) = 6\cos x \cos 3x - 10\sin x \sin 3x$.

Turunan dari penyebut $4\sin 4x$: Turunannya adalah $4(4\cos 4x) = 16\cos 4x$.

Menerapkan aturan L'Hôpital untuk kedua kalinya:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{6\cos x \cos 3x - 10\sin x \sin 3x}{16\cos 4x} $$
Sekarang, substitusikan $x=0$:
$$ \frac{6(\cos 0)(\cos 0) - 10(\sin 0)(\sin 0)}{16(\cos 0)} = \frac{6(1)(1) - 10(0)(0)}{16(1)} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} $$ 

Metode 2: Manipulasi Aljabar dengan Identitas Trigonometri
Gunakan identitas $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ dan $1-\cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$.

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \sin 3x}{1-\cos 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}[\cos(x-3x) - \cos(x+3x)]}{2\sin^2(2x)} $$
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}[\cos(-2x) - \cos(4x)]}{2\sin^2(2x)} = \lim_{x \to 0} rac{\cos(2x) - \cos(4x)}{4\sin^2(2x)} $$ 
Karena $\cos(2x) \to 1$ dan $\cos(4x) \to 1$ saat $x \to 0$, ini masih bentuk $\frac{0}{0}$. Gunakan identitas $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$.

$$ = \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin\left(\frac{2x+4x}{2}\right)\sin\left(\frac{2x-4x}{2}\right)}{4\sin^2(2x)} = \lim_{x \to 0} rac{-2\sin(3x)\sin(-x)}{4\sin^2(2x)} $$ 
Karena $\sin(-x) = -\sin x$, maka:
$$ = \lim_{x \to 0} rac{-2\sin(3x)(-\sin x)}{4\sin^2(2x)} = \lim_{x \to 0} rac{2\sin(3x)\sin x}{4\sin^2(2x)} = \lim_{x \to 0} rac{\sin(3x)\sin x}{2\sin^2(2x)} $$ 
Gunakan $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin k\theta}{\theta} = k$. Pisahkan limit:
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x \cdot \frac{\sin x}{x} \\\cdot x}{2 \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2 \cdot (2x)^2} = \lim_{x \to 0} rac{(3x)(x)}{2(1)^2 (2x)^2} \cdot \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{\sin x}{x}}{\left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2} $$ 
$$ = \lim_{x \to 0} rac{3x^2}{2(4x^2)} rac{(1)(1)}{(1)^2} = \lim_{x \to 0} rac{3x^2}{8x^2} = \frac{3}{8} $$ 
Kedua metode memberikan hasil yang sama.