Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui sebagai berikut.

Luas segitiga ABC adalah 27akar(3) cm^2.

Pembahasan

Untuk menentukan luas segitiga ABC, kita dapat menggunakan rumus luas segitiga jika diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya, yaitu Luas = 1/2 * a * b * sin(C). Namun, dalam soal ini kita diberikan panjang sisi AB dan AC, serta besar sudut B. Kita perlu mencari panjang sisi BC atau sudut lain yang relevan. Menggunakan aturan sinus: AC/sin(B) = AB/sin(C). Maka, 6akar(13)/sin(120) = 6/sin(C). 6akar(13)/(akar(3)/2) = 6/sin(C). 12akar(13)/akar(3) = 6/sin(C). sin(C) = 6akar(3) / (12akar(13)) = akar(3)/(2akar(13)). Karena sin(C) > 0, maka C bisa lancip atau tumpul. Namun, jika sudut B = 120, maka sudut A dan C pasti lancip. Mencari sudut C: C = arcsin(akar(3)/(2akar(13))). Setelah mendapatkan sudut C, kita bisa mencari sudut A = 180 - 120 - C. Kemudian, luas segitiga dapat dihitung dengan Luas = 1/2 * AB * AC * sin(A). Alternatif lain, jika kita bisa mencari panjang sisi BC (misalnya dengan aturan kosinus), kita bisa menggunakan rumus Heron. Namun, dengan informasi yang ada, metode ini lebih kompleks. Mari kita coba pendekatan lain. Dengan aturan kosinus pada sisi AC: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2*AB*BC*cos(B). (6akar(13))^2 = 6^2 + BC^2 - 2*6*BC*cos(120). 36*13 = 36 + BC^2 - 12*BC*(-1/2). 468 = 36 + BC^2 + 6*BC. BC^2 + 6*BC - 432 = 0. Menggunakan rumus kuadratik untuk BC: BC = [-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a. BC = [-6 +/- sqrt(6^2 - 4*1*(-432))] / 2*1. BC = [-6 +/- sqrt(36 + 1728)] / 2. BC = [-6 +/- sqrt(1764)] / 2. BC = [-6 +/- 42] / 2. Karena panjang sisi harus positif, maka BC = (-6 + 42) / 2 = 36 / 2 = 18 cm. Sekarang kita punya panjang ketiga sisi: AB=6, AC=6akar(13), BC=18. Kita bisa mencari luas menggunakan rumus Heron. s = (a+b+c)/2 = (6 + 6akar(13) + 18)/2 = (24 + 6akar(13))/2 = 12 + 3akar(13). Luas = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)). Luas = sqrt((12+3akar(13))(12+3akar(13)-6)(12+3akar(13)-6akar(13))(12+3akar(13)-18)). Luas = sqrt((12+3akar(13))(6+3akar(13))(12-3akar(13))(3akar(13)-6)). Ini terlihat rumit. Mari kembali ke rumus Luas = 1/2 * AB * BC * sin(B). Luas = 1/2 * 6 * 18 * sin(120). Luas = 1/2 * 6 * 18 * (akar(3)/2). Luas = 3 * 18 * (akar(3)/2). Luas = 54 * (akar(3)/2). Luas = 27akar(3) cm^2.