Tentukan nilai A^2 dari persamaan (-2 2 3 5) . A^t=(-8 8 4

A^2 = [11 -5; -10 6]

Pembahasan

Untuk menentukan nilai A^2 dari persamaan matriks yang diberikan, pertama-tama kita perlu mencari matriks A terlebih dahulu.

Persamaan yang diberikan adalah:
(-2  2 3  5) . A^t=(-8  8 4  4)

Misalkan matriks A adalah:
A = [a b]
    [c d]

Maka, A^t (transpose dari A) adalah:
A^t = [a c]
      [b d]

Sekarang, kita kalikan matriks di sisi kiri:
(-2  2) . [a c] = [(-2*a) + (2*b)   (-2*c) + (2*d)]
(3  5)   [b d]   [(3*a) + (5*b)    (3*c) + (5*d)]

Hasil perkalian ini harus sama dengan matriks di sisi kanan:
[(-2a + 2b)   (-2c + 2d)] = [-8  8]
[(3a + 5b)    (3c + 5d)]   [ 4  4]

Dari kesamaan matriks ini, kita dapat membentuk sistem persamaan linear:
1. -2a + 2b = -8  => -a + b = -4 => b = a - 4
2. 3a + 5b = 4
3. -2c + 2d = 8  => -c + d = 4 => d = c + 4
4. 3c + 5d = 4

Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2):
3a + 5(a - 4) = 4
3a + 5a - 20 = 4
8a = 24
a = 3

Maka, b = a - 4 = 3 - 4 = -1

Sekarang, substitusikan nilai d dari persamaan (3) ke persamaan (4):
3c + 5(c + 4) = 4
3c + 5c + 20 = 4
8c = -16
c = -2

Maka, d = c + 4 = -2 + 4 = 2

Jadi, matriks A adalah:
A = [3  -1]
    [-2  2]

Selanjutnya, kita perlu mencari A^2:
A^2 = A . A
A^2 = [3  -1] . [3  -1]
      [-2  2]   [-2  2]

A^2 = [(3*3 + (-1)*(-2))   (3*(-1) + (-1)*2)]
      [((-2)*3 + 2*(-2))    ((-2)*(-1) + 2*2)]

A^2 = [(9 + 2)   (-3 - 2)]
      [(-6 - 4)   (2 + 4)]

A^2 = [11  -5]
      [-10 6]

Jadi, nilai A^2 adalah matriks [11 -5; -10 6].