Tentukan nilai a,b,c, dan d yang memenuhi kesamaan limit

Salah satu solusi yang memenuhi adalah a=1, b=7, c=4, d=-12.

Pembahasan

Kita diberikan limit berikut:
lim x->-2 (ax^3+bx^2+cx+d)/(x^2+x-2)=4

Karena penyebutnya mendekati nol ketika x mendekati -2 (yaitu, (-2)^2 + (-2) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0), agar limitnya bernilai terhingga (4), maka pembilangnya juga harus mendekati nol ketika x mendekati -2. Ini berarti substitusi x = -2 ke dalam pembilang harus menghasilkan 0.

a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + d = 0
-8a + 4b - 2c + d = 0  (Persamaan 1)

Sekarang, kita faktorkan penyebutnya: x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1).

Karena kita tahu bahwa x = -2 membuat pembilang menjadi nol, maka (x+2) adalah salah satu faktor dari pembilang. Kita bisa menggunakan pembagian polinomial atau sintetik, atau langsung faktorisasi jika memungkinkan.

Kita dapat menulis ulang pembilang sebagai (x+2)(px^2+qx+r). Namun, lebih mudah menggunakan aturan L'Hôpital karena kita memiliki bentuk 0/0.

Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
Turunan pembilang: 3ax^2 + 2bx + c
Turunan penyebut: 2x + 1

Sekarang, kita hitung limit dari turunan tersebut:
lim x->-2 (3ax^2 + 2bx + c) / (2x + 1) = 4

Substitusikan x = -2:
(3a(-2)^2 + 2b(-2) + c) / (2(-2) + 1) = 4
(3a(4) - 4b + c) / (-4 + 1) = 4
(12a - 4b + c) / (-3) = 4
12a - 4b + c = -12 (Persamaan 2)

Sekarang, kita perlu cara lain untuk mendapatkan persamaan. Perhatikan kembali bentuk asal:
lim x->-2 (ax^3+bx^2+cx+d)/((x+2)(x-1))=4

Karena pembilang memiliki faktor (x+2), kita bisa membaginya. Misalkan pembilang = (x+2)Q(x). Maka:
lim x->-2 Q(x)/(x-1) = 4
Q(-2)/(-2-1) = 4
Q(-2)/(-3) = 4
Q(-2) = -12

Q(x) adalah hasil bagi (ax^3+bx^2+cx+d) / (x+2). Menggunakan pembagian sintetik:
-2 | a   b   c   d
   |    -2a  4a-2b  -8a+4b-2c
   ---------------------------
     a  b-2a c+4a-2b d-8a+4b-2c

Syarat agar terbagi habis adalah sisanya nol: d-8a+4b-2c = 0, yang sama dengan Persamaan 1.

Q(x) = ax^2 + (b-2a)x + (c+4a-2b).
Sekarang kita evaluasi Q(-2) = -12:
a(-2)^2 + (b-2a)(-2) + (c+4a-2b) = -12
4a - 2b + 4a + c + 4a - 2b = -12
12a - 4b + c = -12. Ini sama dengan Persamaan 2.

Kita masih memiliki satu derajat kebebasan. Mari kita periksa kembali soalnya. Biasanya ada informasi tambahan atau bentuk yang lebih spesifik. Namun, jika kita harus menemukan nilai a, b, c, d, kita perlu satu persamaan lagi.

Kemungkinan besar, soal ini mengasumsikan bahwa hasil bagi Q(x) harus memiliki bentuk tertentu atau ada syarat tambahan yang tidak disebutkan.

Namun, jika kita perhatikan bentuk umum dari limit:
lim x->c (P(x)/Q(x)) = L
Jika Q(c) = 0 dan P(c) = 0, maka kita bisa membagi P(x) dan Q(x) dengan (x-c).

Di sini, P(x) = ax^3+bx^2+cx+d dan Q(x) = x^2+x-2 = (x+2)(x-1).
Kita tahu P(-2) = 0.

Sekarang, mari kita gunakan hasil dari aturan L'Hôpital lagi:
lim x->-2 (3ax^2 + 2bx + c) / (2x + 1) = 4
12a - 4b + c = -12

Dan dari pembagian sintetik, kita tahu bahwa:
ax^3+bx^2+cx+d = (x+2)(ax^2 + (b-2a)x + (c+4a-2b))

Jadi, limitnya adalah:
lim x->-2 [ (x+2)(ax^2 + (b-2a)x + (c+4a-2b)) ] / [ (x+2)(x-1) ] = 4
lim x->-2 [ ax^2 + (b-2a)x + (c+4a-2b) ] / (x-1) = 4

Substitusikan x = -2:
[ a(-2)^2 + (b-2a)(-2) + (c+4a-2b) ] / (-2 - 1) = 4
[ 4a - 2b + 4a + c + 4a - 2b ] / (-3) = 4
[ 12a - 4b + c ] / (-3) = 4
12a - 4b + c = -12. Ini adalah Persamaan 2.

Kita masih memerlukan satu persamaan lagi. Seringkali, dalam soal seperti ini, ada informasi implisit mengenai bentuk pembilang atau penyebut setelah pembagian. 

Jika kita mengasumsikan bahwa pembilang tersebut adalah hasil kali dari (x+2) dengan suatu polinomial, dan hasil limitnya adalah konstan, kita bisa melihat lebih dalam.

Kembali ke:
lim x->-2 (ax^3+bx^2+cx+d)/(x^2+x-2)=4

Kita punya:
1) -8a + 4b - 2c + d = 0
2) 12a - 4b + c = -12

Dari (1), d = 8a - 4b + 2c.
Substitusikan ke dalam bentuk Q(x) yang kita dapatkan dari pembagian:
Q(x) = ax^2 + (b-2a)x + (c+4a-2b)
Nilai dari suku konstan pada Q(x) adalah c+4a-2b.

Dalam soal limit ini, setelah pembagian dengan (x+2), kita memiliki:
lim x->-2 [ ax^2 + (b-2a)x + (c+4a-2b) ] / (x-1) = 4

Ketika kita substitusi x = -2 ke dalam pembilang, kita mendapatkan:
a(-2)^2 + (b-2a)(-2) + (c+4a-2b) = 4a - 2b + 4a + c + 4a - 2b = 12a - 4b + c.

Dan nilai limitnya adalah:
(12a - 4b + c) / (-3) = 4
12a - 4b + c = -12.

Kita perlu satu persamaan lagi. Mari kita lihat bentuk pembilangnya jika kita menyusunnya:
ax^3+bx^2+cx+d = (x+2)(ax^2 + (b-2a)x + (c+4a-2b))

Jika kita substitusi nilai d dari Persamaan 1 ke dalam bentuk umum pembilang:
ax^3+bx^2+cx+(8a-4b+2c)

Kita perlu mempertimbangkan kasus di mana limit dari pembilang dan penyebut setelah pembagian dengan faktor yang sama (x+2) masih memiliki faktor (x+2) di penyebut yang belum terselesaikan.

Namun, biasanya soal seperti ini memiliki solusi yang unik. Mari kita coba cara lain untuk menyusun persamaan.

Dari Persamaan 2: c = 4b - 12a - 12.
Substitusikan c ke Persamaan 1:
-8a + 4b - 2(4b - 12a - 12) + d = 0
-8a + 4b - 8b + 24a + 24 + d = 0
16a - 4b + 24 + d = 0
d = -16a + 4b - 24.

Sekarang kita punya c dan d dalam bentuk a dan b.
ax^3+bx^2+(4b-12a-12)x+(-16a+4b-24)

Jika kita membagi ini dengan (x+2), hasil baginya adalah:
ax^2 + (b-2a)x + (c+4a-2b)
ax^2 + (b-2a)x + (4b-12a-12+4a-2b)
ax^2 + (b-2a)x + (2b-8a-12)

Nilai limitnya adalah:
[ a(-2)^2 + (b-2a)(-2) + (2b-8a-12) ] / (-3) = 4
[ 4a - 2b + 4a + 2b - 8a - 12 ] / (-3) = 4
[ -12 ] / (-3) = 4
4 = 4. Ini selalu benar dan tidak memberi kita informasi lebih lanjut tentang a dan b.

Ini berarti ada tak hingga banyak solusi untuk a, b, c, d yang memenuhi dua persamaan tersebut. Namun, jika kita harus memberikan satu set nilai, kita bisa memilih nilai untuk 'a' dan 'b' lalu mencari 'c' dan 'd'.

Misalkan a = 1 dan b = 1.
12(1) - 4(1) + c = -12 => 12 - 4 + c = -12 => 8 + c = -12 => c = -20.
-8(1) + 4(1) - 2(-20) + d = 0 => -8 + 4 + 40 + d = 0 => 36 + d = 0 => d = -36.
Jadi, salah satu solusi adalah a=1, b=1, c=-20, d=-36.

Mari kita cek apakah ada informasi lain yang bisa kita dapatkan.
Dalam limit seperti ini, seringkali ada syarat bahwa polinomial tersebut memiliki akar berulang atau memiliki bentuk yang 'sederhana'.

Jika kita anggap pembilangnya adalah k(x+2)^2(x-1) atau k(x+2)(x-1)^2, atau bahkan k(x+2)^3. Namun, derajat pembilangnya adalah 3.

Mari kita lihat kembali hasil pembagian:
Q(x) = ax^2 + (b-2a)x + (c+4a-2b).
Dalam kasus ini, kita bisa membagi lagi dengan (x-1) jika (x-1) adalah faktor dari Q(x).

Coba kita cek soal aslinya lagi. "Tentukan nilai a,b,c, dan d yang memenuhi kesamaan limit berikut." Ini menyiratkan ada nilai spesifik.

Jika kita mengasumsikan bahwa ketika x mendekati -2, pembilang dan penyebut memiliki faktor (x+2) yang sama dan setelah pembagian, penyebutnya menjadi (x-1) dan pembilangnya tidak lagi memiliki faktor (x+2) yang menyebabkan masalah.

Kemungkinan lain adalah bahwa polinomial pembilang memiliki bentuk yang lebih spesifik terkait dengan penyebutnya.
Misalkan pembilang adalah P(x) = ax^3+bx^2+cx+d.
Kita tahu P(-2)=0.
Dan P'(x) = 3ax^2+2bx+c. Kita tahu P'(-2) = -12.

Jika kita coba substitusi langsung ke bentuk faktorisasi limit:
lim x->-2 [ ax^2 + (b-2a)x + (c+4a-2b) ] / (x-1) = 4

Substitusi x=-2:
[ 4a -2(b-2a) + (c+4a-2b) ] / (-3) = 4
[ 4a -2b + 4a + c + 4a - 2b ] / (-3) = 4
[ 12a - 4b + c ] / (-3) = 4
12a - 4b + c = -12.
Ini adalah Persamaan 2.

Kita perlu satu persamaan lagi yang berasal dari fakta bahwa limitnya ada dan bernilai 4.
Ini sering terjadi ketika ada akar yang sama antara pembilang dan penyebut, atau ketika pembilang adalah kelipatan dari penyebut dengan faktor tambahan.

Mari kita coba ekspresikan P(x) dalam bentuk:
P(x) = (x+2)(x-1)(kx+m)
Karena derajatnya 3, ini adalah bentuk yang mungkin. Namun, koefisien x^3 adalah 'a', jadi k = a.
P(x) = (x^2+x-2)(ax+m) = ax^3 + mx^2 + ax^2 + mx - 2ax - 2m = ax^3 + (m+a)x^2 + (m-2a)x - 2m

Sekarang kita samakan koefisiennya:
b = m+a
c = m-2a
d = -2m

Kita punya 4 variabel (a,b,c,d) dan 4 persamaan (termasuk 2 yang sudah kita dapatkan):
1) -8a + 4b - 2c + d = 0
2) 12a - 4b + c = -12
3) b = m+a
4) c = m-2a
5) d = -2m

Dari (3) dan (4):
m = b-a dan m = c+2a.
Jadi, b-a = c+2a => b-c = 3a.

Substitusikan c dari (4) ke Persamaan 2:
12a - 4b + (m-2a) = -12
10a - 4b + m = -12.

Sekarang substitusikan m dari (3) ke persamaan ini:
10a - 4b + (b-a) = -12
9a - 3b = -12
3a - b = -4 => b = 3a + 4.

Sekarang kita punya b dalam bentuk a.

Cari m:
m = b-a = (3a+4) - a = 2a + 4.

Cari c:
c = m-2a = (2a+4) - 2a = 4.

Cari d:
d = -2m = -2(2a+4) = -4a - 8.

Jadi, kita punya:
b = 3a + 4
c = 4
d = -4a - 8

Mari kita cek apakah ini memenuhi Persamaan 1:
-8a + 4b - 2c + d = 0
-8a + 4(3a+4) - 2(4) + (-4a-8) = 0
-8a + 12a + 16 - 8 - 4a - 8 = 0
(-8a + 12a - 4a) + (16 - 8 - 8) = 0
(0a) + (0) = 0
0 = 0. Persamaan 1 terpenuhi.

Sekarang kita punya nilai b, c, dan d dalam bentuk a.
Namun, kita masih punya satu variabel bebas 'a'. Apa yang salah?

Kesalahan dalam asumsi awal bahwa P(x) = (x+2)(x-1)(ax+m).
Jika limitnya adalah 4, maka:
lim x->-2 [ ax^2 + (b-2a)x + (c+4a-2b) ] / (x-1) = 4

Mari kita gunakan hasil bahwa:
lim x->-2 (P(x)/Q(x)) = 4.
Kita tahu Q(x) = (x+2)(x-1).
Dan P(x) = ax^3+bx^2+cx+d.
Kita tahu P(-2)=0.

Jika P(x) = (x+2)R(x), maka lim x->-2 R(x)/(x-1) = 4.
R(-2)/(-3) = 4 => R(-2) = -12.

R(x) adalah hasil bagi P(x) dengan (x+2). Kita sudah mendapatkannya:
R(x) = ax^2 + (b-2a)x + (c+4a-2b).

Jadi, R(-2) = a(-2)^2 + (b-2a)(-2) + (c+4a-2b) = 4a -2b + 4a + c + 4a - 2b = 12a - 4b + c.

Kita punya 12a - 4b + c = -12. Ini adalah Persamaan 2.

Apa lagi yang bisa kita gunakan? Mungkin ada akar lain yang sama.
Jika limitnya adalah 4, ini berarti setelah pembagian dengan (x+2), hasil bagi dari pembilang dan penyebut konvergen ke 4.

lim x->-2 [ ax^2 + (b-2a)x + (c+4a-2b) ] / (x-1) = 4

Jika kita anggap pembilang adalah K(x-1) + 4(x-1) saat x=-2, ini tidak membantu.

Kembali ke asumsi P(x) = (x+2)(x-1)(ax+m).
Nilai limitnya adalah:
lim x->-2 (ax+m) = 4
Saat x=-2:
a(-2)+m = 4
-2a + m = 4
m = 2a + 4.

Sekarang kita samakan koefisiennya:
ax^3 + (m+a)x^2 + (m-2a)x - 2m

a = a
b = m+a = (2a+4)+a = 3a+4.
c = m-2a = (2a+4)-2a = 4.
d = -2m = -2(2a+4) = -4a-8.

Sekarang kita substitusikan nilai b, c, d ini ke dalam Persamaan 1:
-8a + 4b - 2c + d = 0
-8a + 4(3a+4) - 2(4) + (-4a-8) = 0
-8a + 12a + 16 - 8 - 4a - 8 = 0
0 = 0.

Ini berarti bahwa dengan asumsi P(x) = (x+2)(x-1)(ax+m), kita mendapatkan hubungan antara a, b, c, d, tetapi kita masih punya satu variabel bebas 'a'.

Soal ini mungkin meminta salah satu solusi yang memenuhi.
Jika kita pilih a=1:
b = 3(1)+4 = 7
c = 4
d = -4(1)-8 = -12.

Mari kita cek apakah limitnya benar:
lim x->-2 (x^3+7x^2+4x-12)/(x^2+x-2)
Jika kita substitusi x=-2:
(-8 + 7(4) + 4(-2) - 12) / (4 - 2 - 2) = (-8 + 28 - 8 - 12) / 0 = 0/0.

Sekarang gunakan aturan L'Hopital:
lim x->-2 (3x^2+14x+4)/(2x+1)
(3(-2)^2 + 14(-2) + 4) / (2(-2)+1)
(3(4) - 28 + 4) / (-4+1)
(12 - 28 + 4) / (-3)
(-12) / (-3) = 4.

Jadi, nilai a=1, b=7, c=4, d=-12 adalah salah satu solusi yang memenuhi.