Tentukan nilai bentuk trigonometri berikut. (1-akar(2)cos

4

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi trigonometri \((1 - \sqrt{2} \cos 112.5^{\circ})(4 + 4 \sqrt{2} \cos 112.5^{\circ}) / (2 \sin^2 67.5^{\circ} - 1)\), kita dapat menggunakan identitas trigonometri.

Pertama, kita perhatikan \( \cos 112.5^{\circ} \). Kita tahu bahwa \( \cos(180^{\circ} - x) = -\cos x \), jadi \( \cos 112.5^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 67.5^{\circ}) = -\cos 67.5^{\circ} \).
Kita juga tahu bahwa \( \cos 67.5^{\circ} = \sin 22.5^{\circ} \). Menggunakan identitas \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x \), kita dapatkan \( \cos 45^{\circ} = 1 - 2\sin^2 22.5^{\circ} \).
\( \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - 2\sin^2 22.5^{\circ} \)
\( 2\sin^2 22.5^{\circ} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \)
\( \sin^2 22.5^{\circ} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \)
\( \sin 22.5^{\circ} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \)
Jadi, \( \cos 67.5^{\circ} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \) dan \( \cos 112.5^{\circ} = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \).

Sekarang, kita perhatikan penyebutnya: \( 2 \sin^2 67.5^{\circ} - 1 \). Ini adalah identitas \( \cos(2x) \), jadi \( 2 \sin^2 67.5^{\circ} - 1 = -\cos(2 * 67.5^{\circ}) = -\cos 135^{\circ} \).
\( \cos 135^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), jadi penyebutnya adalah \( -(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Sekarang kita substitusikan nilai \( \cos 112.5^{\circ} \) ke dalam pembilangnya:
Pembilang = \((1 - \sqrt{2} * (-\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))(4 + 4 \sqrt{2} * (-\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))\)
Pembilang = \((1 + \frac{\sqrt{2}\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})(4 - 2\sqrt{2}\sqrt{2 - \sqrt{2}})\)
Pembilang = \((1 + \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}{2})(4 - 2\sqrt{4 - 2\sqrt{2}})\)
Misalkan \( A = 1 + \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}{2} \) dan \( B = 4 - 2\sqrt{4 - 2\sqrt{2}} \). Maka Pembilang = AB.
Ini menjadi sangat rumit. Mari kita coba pendekatan lain.

Kita tahu bahwa \( \cos 112.5^{\circ} = -\sin 22.5^{\circ} \) dan \( \sin 67.5^{\circ} = \cos 22.5^{\circ} \).
Jadi, penyebutnya adalah \( 2 \sin^2 67.5^{\circ} - 1 = 2 \cos^2 22.5^{\circ} - 1 = \cos(2 * 22.5^{\circ}) = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Sekarang, pembilang:
\((1 - \sqrt{2} \cos 112.5^{\circ})(4 + 4 \sqrt{2} \cos 112.5^{\circ})\)
= \((1 - \sqrt{2} (-\sin 22.5^{\circ}))(4 + 4 \sqrt{2} (-\sin 22.5^{\circ}))\)
= \((1 + \sqrt{2} \sin 22.5^{\circ})(4 - 4 \sqrt{2} \sin 22.5^{\circ})\)
= \(4(1 + \sqrt{2} \sin 22.5^{\circ})(1 - \sqrt{2} \sin 22.5^{\circ})\)
= \(4(1 - (\sqrt{2} \sin 22.5^{\circ})^2)\)
= \(4(1 - 2 \sin^2 22.5^{\circ})\)
Kita tahu bahwa \( 1 - 2 \sin^2 x = \cos(2x) \), jadi \( 1 - 2 \sin^2 22.5^{\circ} = \cos(2 * 22.5^{\circ}) = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Jadi, pembilangnya adalah \( 4 * \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \).

Sekarang, nilai bentuk trigonometri adalah Pembilang / Penyebut:
\( \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2} * \frac{2}{\sqrt{2}} = 4 \).

Jadi, nilai bentuk trigonometri tersebut adalah 4.