Tentukan nilai dari lim x->pi/4 (cos 2x)/(sin x-cos x)= ...

Gunakan identitas $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$. Limit menjadi $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-(\sin x - \cos x)(\cos x + \sin x)}{\sin x - \cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} -(\cos x + \sin x)$. Substitusikan $x = \frac{\pi}{4}$ menghasilkan $-\sqrt{2}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan substitusi dan identitas trigonometri. Pertama, kita substitusikan $x = rac{\pi}{4}$ ke dalam persamaan:
$
rac{\cos(2x)}{\sin x - \cos x}
$
Jika kita substitusikan langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu $rac{0}{0}$. Oleh karena itu, kita perlu menyederhanakan ekspresi tersebut.
Kita tahu bahwa $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Dengan menggunakan identitas selisih kuadrat, kita dapat memfaktorkannya menjadi $(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.
Jadi, limitnya menjadi:
$
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x - \cos x}
$
Perhatikan bahwa $(\cos x - \sin x) = -(\sin x - \cos x)$. Maka, kita bisa menyederhanakan persamaan:
$
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-(\sin x - \cos x)(\cos x + \sin x)}{\sin x - \cos x}
$
Cancel $(\sin x - \cos x)$ dari pembilang dan penyebut:
$
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} -(\cos x + \sin x)
$
Sekarang, substitusikan $x = rac{\pi}{4}$:
$-(\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4})$
$-(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})$
$-(\frac{2\sqrt{2}}{2})$
$-\sqrt{2}

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $-\sqrt{2}$.