Tentukan nilai dari limit berikut limit x -> pi/4

Nilai limitnya adalah -√2.

Pembahasan

Kita perlu menghitung nilai dari limit berikut:
lim (x → π/4) [cos(2x) / (sin(x) - cos(x))]

Langkah 1: Substitusi langsung.
Mencoba substitusi x = π/4 ke dalam fungsi:
cos(2 * π/4) = cos(π/2) = 0
sin(π/4) = √2/2
cos(π/4) = √2/2
sin(π/4) - cos(π/4) = √2/2 - √2/2 = 0
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menggunakan metode lain, seperti menggunakan identitas trigonometri atau aturan L'Hôpital.

Langkah 2: Menggunakan identitas trigonometri.
Kita tahu bahwa cos(2x) = cos²(x) - sin²(x).
Jadi, ekspresi menjadi:
lim (x → π/4) [(cos²(x) - sin²(x)) / (sin(x) - cos(x))]

Perhatikan bahwa cos²(x) - sin²(x) adalah selisih kuadrat, yang dapat difaktorkan menjadi (cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)).
Ekspresi menjadi:
lim (x → π/4) [((cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x))) / (sin(x) - cos(x))]

Kita dapat mengeluarkan -1 dari (sin(x) - cos(x)) untuk mendapatkan -(cos(x) - sin(x)).
Ekspresi menjadi:
lim (x → π/4) [((cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x))) / -(cos(x) - sin(x))]

Batalkan faktor (cos(x) - sin(x)): 
lim (x → π/4) [-(cos(x) + sin(x))]

Langkah 3: Substitusi kembali.
Sekarang substitusikan x = π/4 ke dalam ekspresi yang disederhanakan:
-(cos(π/4) + sin(π/4))
= -(√2/2 + √2/2)
= -(2√2 / 2)
= -√2

Atau, menggunakan aturan L'Hôpital:
Turunan dari pembilang (cos(2x)) adalah -2sin(2x).
Turunan dari penyebut (sin(x) - cos(x)) adalah cos(x) + sin(x).

lim (x → π/4) [-2sin(2x) / (cos(x) + sin(x))]
Substitusi x = π/4:
[-2sin(2 * π/4)] / [cos(π/4) + sin(π/4)]
= [-2sin(π/2)] / [√2/2 + √2/2]
= [-2 * 1] / [√2]
= -2 / √2
= -2√2 / 2
= -√2

Jadi, nilai limitnya adalah -√2.