Tentukan nilai dari perkalian vektor berikut ini jika

a. A.B = 9, b. A x B = 8i - 7j - 26k, c. (A.B).B = 27i - 36j + 18k, d. (A x B) x A = 45i - 138j + 51k

Pembahasan

Diberikan dua vektor: A = 5i + 2j + k dan B = 3i - 4j + 2k.

a. Perkalian Titik (Dot Product) A . B:
Perkalian titik antara dua vektor dihitung dengan mengalikan komponen-komponen yang bersesuaian dan menjumlahkannya.
A . B = (Ax * Bx) + (Ay * By) + (Az * Bz)
A . B = (5 * 3) + (2 * -4) + (1 * 2)
A . B = 15 - 8 + 2
A . B = 9

b. Perkalian Silang (Cross Product) A x B:
Perkalian silang antara dua vektor menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap kedua vektor asli. Ini dapat dihitung menggunakan determinan matriks:
A x B = | i   j   k  |
        | 5   2   1  |
        | 3  -4   2  |

A x B = i * ((2 * 2) - (1 * -4)) - j * ((5 * 2) - (1 * 3)) + k * ((5 * -4) - (2 * 3))
A x B = i * (4 - (-4)) - j * (10 - 3) + k * (-20 - 6)
A x B = i * (8) - j * (7) + k * (-26)
A x B = 8i - 7j - 26k

c. (A . B) . B:
Perkalian titik antara skalar (hasil dari A . B) dan vektor B. Hasil dari A . B adalah skalar (9).
(A . B) . B = 9 * (3i - 4j + 2k)
(A . B) . B = (9 * 3)i - (9 * 4)j + (9 * 2)k
(A . B) . B = 27i - 36j + 18k

d. (A x B) x A:
Ini adalah perkalian silang antara dua vektor. Vektor (A x B) sudah kita hitung di bagian b, yaitu 8i - 7j - 26k. Sekarang kita akan mengalikan silang vektor ini dengan vektor A.
(A x B) x A = (8i - 7j - 26k) x (5i + 2j + k)

Kita dapat menggunakan rumus perkalian silang:
(u x v) x w = (u . w)v - (v . w)u
Di sini, u = (A x B) = 8i - 7j - 26k, v = A = 5i + 2j + k, dan w = tidak ada (kita perlu mengalikan (A x B) dengan A, jadi ini adalah bentuk vektor tripel).

Atau, kita hitung langsung menggunakan determinan:
(A x B) x A = |  i       j       k   |
              |  8      -7     -26  |
              |  5       2       1   |

(A x B) x A = i * ((-7 * 1) - (-26 * 2)) - j * ((8 * 1) - (-26 * 5)) + k * ((8 * 2) - (-7 * 5))
(A x B) x A = i * (-7 - (-52)) - j * (8 - (-130)) + k * (16 - (-35))
(A x B) x A = i * (-7 + 52) - j * (8 + 130) + k * (16 + 35)
(A x B) x A = i * (45) - j * (138) + k * (51)
(A x B) x A = 45i - 138j + 51k