Untuk 0<x<pi/2, nilai 2 sin x + sin 2x cos x + sin 2x cos^3

Nilai deret adalah 2 cosec x.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menghitung jumlah dari sebuah deret tak hingga. Deret yang diberikan adalah:
2 sin x + sin 2x cos x + sin 2x cos³ x + ...

Kita bisa melihat bahwa mulai dari suku kedua, deret ini membentuk sebuah deret geometri tak hingga. Mari kita analisis suku-suku deretnya:
Suku pertama = 2 sin x
Suku kedua = sin 2x cos x
Suku ketiga = sin 2x cos³ x

Kita tahu bahwa sin 2x = 2 sin x cos x. Maka, suku kedua dapat ditulis sebagai:
suku kedua = (2 sin x cos x) cos x = 2 sin x cos² x

Suku ketiga dapat ditulis sebagai:
suku ketiga = (2 sin x cos x) cos³ x = 2 sin x cos⁴ x

Jadi, deretnya adalah:
2 sin x + 2 sin x cos² x + 2 sin x cos⁴ x + ...

Ini adalah deret geometri tak hingga dengan:
Suku pertama (a) = 2 sin x
Rasio (r) = (suku kedua) / (suku pertama) = (2 sin x cos² x) / (2 sin x) = cos² x
Atau, rasio = (suku ketiga) / (suku kedua) = (2 sin x cos⁴ x) / (2 sin x cos² x) = cos² x

Syarat agar deret geometri tak hingga konvergen adalah |r| < 1. Dalam kasus ini, kita diberikan bahwa 0 < x < π/2. Untuk rentang ini, nilai cos x adalah positif dan kurang dari 1 (cos 0 = 1, cos π/2 = 0). Jadi, 0 < cos x < 1. Akibatnya, 0 < cos² x < 1. Maka, |r| = cos² x < 1, sehingga deret ini konvergen.

Jumlah deret geometri tak hingga (S) dihitung dengan rumus:
S = a / (1 - r)

Mengganti nilai a dan r:
S = (2 sin x) / (1 - cos² x)

Kita tahu identitas trigonometri dasar: sin² x + cos² x = 1. Maka, 1 - cos² x = sin² x.

Jadi, jumlah deretnya adalah:
S = (2 sin x) / (sin² x)
S = 2 / sin x
S = 2 cosec x

Jadi, untuk 0 < x < π/2, nilai dari deret tersebut adalah 2 cosec x.