Tentukan nilai determinan berikut dengan ekspansi

Nilai determinannya adalah 47.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menghitung nilai determinan dari sebuah matriks 3x3 menggunakan metode ekspansi kofaktor-minor. Matriks yang diberikan adalah:

| -3  5  1 |
| -4  1  3 |
|  3  1  0 |

Metode ekspansi kofaktor-minor menyatakan bahwa determinan suatu matriks dapat dihitung dengan menjumlahkan hasil perkalian setiap elemen pada satu baris (atau kolom) dengan kofaktornya.

Kofaktor C_ij dari elemen a_ij adalah C_ij = (-1)^(i+j) * M_ij, di mana M_ij adalah minor dari elemen a_ij.
Minor M_ij adalah determinan dari submatriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks asli.

Kita bisa memilih untuk melakukan ekspansi sepanjang baris pertama, baris kedua, baris ketiga, atau sepanjang kolom mana pun. Paling mudah biasanya memilih baris atau kolom yang memiliki banyak elemen nol, karena perkalian dengan nol akan membuat suku tersebut menjadi nol.

Dalam matriks ini, baris ketiga memiliki elemen nol pada posisi (3,3) dan kolom ketiga memiliki elemen nol pada posisi (3,3). Namun, baris ketiga memiliki elemen (3,1)=3, (3,2)=1, (3,3)=0. Kolom ketiga memiliki elemen (1,3)=1, (2,3)=3, (3,3)=0. Ekspansi sepanjang baris ketiga atau kolom ketiga akan sedikit lebih mudah karena ada elemen 0.

Mari kita ekspansi sepanjang baris ketiga (baris terakhir):
Det(A) = a_31 * C_31 + a_32 * C_32 + a_33 * C_33

Elemen pada baris ketiga adalah a_31 = 3, a_32 = 1, a_33 = 0.

1. Hitung Kofaktor C_31:
   Minor M_31 adalah determinan dari matriks setelah menghapus baris ke-3 dan kolom ke-1:
   M_31 = det | 5  1 |
              | 1  3 |
       M_31 = (5 * 3) - (1 * 1) = 15 - 1 = 14.
   Kofaktor C_31 = (-1)^(3+1) * M_31 = (-1)^4 * 14 = 1 * 14 = 14.

2. Hitung Kofaktor C_32:
   Minor M_32 adalah determinan dari matriks setelah menghapus baris ke-3 dan kolom ke-2:
   M_32 = det | -3  1 |
              | -4  3 |
       M_32 = (-3 * 3) - (1 * -4) = -9 - (-4) = -9 + 4 = -5.
   Kofaktor C_32 = (-1)^(3+2) * M_32 = (-1)^5 * (-5) = -1 * (-5) = 5.

3. Hitung Kofaktor C_33:
   Minor M_33 adalah determinan dari matriks setelah menghapus baris ke-3 dan kolom ke-3:
   M_33 = det | -3  5 |
              | -4  1 |
       M_33 = (-3 * 1) - (5 * -4) = -3 - (-20) = -3 + 20 = 17.
   Kofaktor C_33 = (-1)^(3+3) * M_33 = (-1)^6 * 17 = 1 * 17 = 17.

Sekarang, kita hitung determinannya:
Det(A) = a_31 * C_31 + a_32 * C_32 + a_33 * C_33
Det(A) = 3 * (14) + 1 * (5) + 0 * (17)
Det(A) = 42 + 5 + 0
Det(A) = 47.

Alternatif: Ekspansi sepanjang kolom ketiga (karena ada elemen 0):
Det(A) = a_13 * C_13 + a_23 * C_23 + a_33 * C_33
Elemen pada kolom ketiga adalah a_13 = 1, a_23 = 3, a_33 = 0.

1. Hitung Kofaktor C_13:
   Minor M_13 adalah determinan dari matriks setelah menghapus baris ke-1 dan kolom ke-3:
   M_13 = det | -4  1 |
              |  3  1 |
       M_13 = (-4 * 1) - (1 * 3) = -4 - 3 = -7.
   Kofaktor C_13 = (-1)^(1+3) * M_13 = (-1)^4 * (-7) = 1 * (-7) = -7.

2. Hitung Kofaktor C_23:
   Minor M_23 adalah determinan dari matriks setelah menghapus baris ke-2 dan kolom ke-3:
   M_23 = det | -3  5 |
              |  3  1 |
       M_23 = (-3 * 1) - (5 * 3) = -3 - 15 = -18.
   Kofaktor C_23 = (-1)^(2+3) * M_23 = (-1)^5 * (-18) = -1 * (-18) = 18.

3. Hitung Kofaktor C_33:
   M_33 = 17 (sudah dihitung sebelumnya).
   Kofaktor C_33 = 17.

Det(A) = a_13 * C_13 + a_23 * C_23 + a_33 * C_33
Det(A) = 1 * (-7) + 3 * (18) + 0 * (17)
Det(A) = -7 + 54 + 0
Det(A) = 47.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.