Tentukan nilai fungsi turunan berikut, untuk nilai x yang

Nilai turunan fungsi pada x = -1 adalah 9/64.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai fungsi turunan f(x)=(3x+1)^2/(x-3)^3 pada x=-1, pertama-tama kita perlu mencari turunan dari f(x) menggunakan aturan kuosien dan aturan rantai.
Misalkan u = (3x+1)^2 dan v = (x-3)^3.
Mencari turunan u terhadap x (menggunakan aturan rantai):
du/dx = 2(3x+1)^(2-1) * d/dx(3x+1) = 2(3x+1) * 3 = 6(3x+1).
Mencari turunan v terhadap x (menggunakan aturan rantai):
dv/dx = 3(x-3)^(3-1) * d/dx(x-3) = 3(x-3)^2 * 1 = 3(x-3)^2.

Menggunakan aturan kuosien, f'(x) = [v * (du/dx) - u * (dv/dx)] / v^2:
f'(x) = [(x-3)^3 * 6(3x+1) - (3x+1)^2 * 3(x-3)^2] / ((x-3)^3)^2
f'(x) = [(x-3)^3 * 6(3x+1) - (3x+1)^2 * 3(x-3)^2] / (x-3)^6

Kita bisa menyederhanakan dengan memfaktorkan keluar (x-3)^2 dari pembilang:
f'(x) = [(x-3)^2 * {(x-3) * 6(3x+1) - (3x+1)^2 * 3}] / (x-3)^6
f'(x) = [6(3x+1)(x-3) - 3(3x+1)^2] / (x-3)^4
f'(x) = [ (3x+1) * {6(x-3) - 3(3x+1)} ] / (x-3)^4
f'(x) = [ (3x+1) * {6x - 18 - 9x - 3} ] / (x-3)^4
f'(x) = [ (3x+1) * {-3x - 21} ] / (x-3)^4
f'(x) = -3(3x+1)(x+7) / (x-3)^4

Sekarang, kita substitusikan x = -1 ke dalam f'(x):
f'(-1) = -3(3(-1)+1)(-1+7) / (-1-3)^4
f'(-1) = -3(-3+1)(-1+7) / (-4)^4
f'(-1) = -3(-2)(6) / (256)
f'(-1) = 36 / 256

Kita bisa menyederhanakan pecahan 36/256 dengan membagi pembilang dan penyebut dengan faktor persekutuan terbesar mereka, yaitu 4:
36 / 4 = 9
256 / 4 = 64
Jadi, f'(-1) = 9/64.