Tentukan nilai limit berikut. lim x->tak hingga

4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} \tan(\frac{3}{x})}{1 - \cos^2(\frac{3}{2x})}$, kita dapat menggunakan substitusi dan identitas trigonometri.

Kita tahu bahwa $1 - \cos^2(\theta) = \sin^2(\theta)$.
Maka, penyebutnya menjadi $\sin^2(\frac{3}{2x})$.

Limitnya menjadi: $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} \tan(\frac{3}{x})}{\sin^2(\frac{3}{2x})}$

Kita juga tahu bahwa untuk $\theta$ yang mendekati 0, $\tan(\theta) \approx \theta$ dan $\sin(\theta) \approx \theta$.
Saat $x \to \infty$, maka $\frac{3}{x} \to 0$ dan $\frac{3}{2x} \to 0$.

Jadi, $\tan(\frac{3}{x}) \approx \frac{3}{x}$ dan $\sin(\frac{3}{2x}) \approx \frac{3}{2x}$.

Substitusikan aproksimasi ini ke dalam limit:
$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} \times \frac{3}{x}}{(\frac{3}{2x})^2}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9}{x^2}}{\frac{9}{4x^2}}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^2} \times \frac{4x^2}{9}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{36x^2}{9x^2}$
$= \lim_{x \to \infty} 4$
$= 4$

Alternatif lain menggunakan L'Hopital's Rule, namun akan lebih rumit karena bentuknya 0/0 yang berulang.

Cara lain adalah menggunakan limit standar: $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ dan $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$.

Kita ubah ekspresi menjadi:
$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} \tan(\frac{3}{x})}{\sin^2(\frac{3}{2x})}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} \tan(\frac{3}{x})}{(\frac{3}{2x})^2 \left(\frac{\sin(\frac{3}{2x})}{\frac{3}{2x}}\right)^2}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} \tan(\frac{3}{x})}{\frac{9}{4x^2} \left(\frac{\sin(\frac{3}{2x})}{\frac{3}{2x}}\right)^2}$

Sekarang kita pisahkan menjadi beberapa bagian:
$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}}{\frac{9}{4x^2}} \times \lim_{x \to \infty} \frac{\tan(\frac{3}{x})}{1} \times \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(\frac{\sin(\frac{3}{2x})}{\frac{3}{2x}}\right)^2}$

Bagian pertama:
$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} \times \frac{4x^2}{9} = \lim_{x \to \infty} \frac{12x^2}{9x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{3} = \infty$. Ini menunjukkan ada kesalahan dalam manipulasi atau asumsi awal.

Mari kita kembali ke aproksimasi:
$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} \tan(\frac{3}{x})}{1 - \cos^2(\frac{3}{2x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} \cdot \frac{3}{x}}{\sin^2(\frac{3}{2x})}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9}{x^2}}{(\frac{3}{2x})^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9}{x^2}}{\frac{9}{4x^2}} = \frac{9}{9/4} = 4$.

Cara yang lebih formal menggunakan limit standar:
$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} \tan(\frac{3}{x})}{1 - \cos^2(\frac{3}{2x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} \tan(\frac{3}{x})}{\sin^2(\frac{3}{2x})}$
Kalikan pembilang dan penyebut dengan $\frac{1}{x^2}$ dan $(\frac{2}{3})^2$ atau $(\frac{1}{x})^2$ dan $(\frac{2}{3})^2$ untuk membuat bentuk limit standar.

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} \tan(\frac{3}{x})}{\sin^2(\frac{3}{2x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} \tan(\frac{3}{x})}{(\frac{3}{2x})^2 \frac{\sin^2(\frac{3}{2x})}{(\frac{3}{2x})^2}}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}}{\frac{9}{4x^2}} \times \lim_{x \to \infty} \frac{\tan(\frac{3}{x})}{1} \times \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sin^2(\frac{3}{2x})}{(\frac{3}{2x})^2}}$

Ini masih rumit.
Mari kita gunakan substitusi $y = \frac{1}{x}$. Ketika $x \to \infty$, maka $y \to 0$.
Limit menjadi: $\lim_{y \to 0} \frac{3y \tan(3y)}{1 - \cos^2(\frac{3y}{2})}$
$= \lim_{y \to 0} \frac{3y \tan(3y)}{\sin^2(\frac{3y}{2})}$
Kita tahu $\tan(3y) \approx 3y$ dan $\sin(\frac{3y}{2}) \approx \frac{3y}{2}$ untuk $y \to 0$.
$= \lim_{y \to 0} \frac{3y (3y)}{(\frac{3y}{2})^2}$
$= \lim_{y \to 0} \frac{9y^2}{\frac{9y^2}{4}}$
$= \lim_{y \to 0} 9y^2 \times \frac{4}{9y^2}$
$= \lim_{y \to 0} 4$
$= 4$

Jadi, nilai limitnya adalah 4.