tentukan nilai limit dari: lim _(x -> 0) (1-cos 10 x)/(5 x

10

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari lim (x -> 0) (1-cos 10x)/(5x sin x), kita dapat menggunakan beberapa metode, termasuk aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar dengan identitas trigonometri.

Metode 1: Menggunakan Aturan L'Hopital
Karena jika kita substitusikan x=0, kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0 (1-cos(0))/(5*0*sin(0)) = (1-1)/0 = 0/0), kita bisa menerapkan aturan L'Hopital.
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim (x->c) f(x)/g(x) adalah bentuk tak tentu, maka limit tersebut sama dengan lim (x->c) f'(x)/g'(x).

Turunan dari pembilang (1 - cos 10x) adalah:
f'(x) = -(-sin 10x) * 10 = 10 sin 10x

Turunan dari penyebut (5x sin x) adalah (menggunakan aturan perkalian):
g'(x) = (d/dx(5x)) * sin x + 5x * (d/dx(sin x))
g'(x) = 5 * sin x + 5x * cos x

Sekarang kita hitung limit dari f'(x)/g'(x):
lim (x -> 0) (10 sin 10x) / (5 sin x + 5x cos x)
Jika kita substitusikan x=0 lagi, kita masih mendapatkan bentuk 0/0, jadi kita terapkan L'Hopital lagi.

Turunan dari pembilang (10 sin 10x) adalah:
f''(x) = 10 * (cos 10x) * 10 = 100 cos 10x

Turunan dari penyebut (5 sin x + 5x cos x) adalah:
g''(x) = d/dx(5 sin x) + d/dx(5x cos x)
g''(x) = 5 cos x + [ (d/dx(5x)) * cos x + 5x * (d/dx(cos x)) ]
g''(x) = 5 cos x + [ 5 * cos x + 5x * (-sin x) ]
g''(x) = 5 cos x + 5 cos x - 5x sin x
g''(x) = 10 cos x - 5x sin x

Sekarang hitung limitnya:
lim (x -> 0) (100 cos 10x) / (10 cos x - 5x sin x)
Substitusikan x = 0:
(100 cos 0) / (10 cos 0 - 5(0) sin 0)
(100 * 1) / (10 * 1 - 0)
100 / 10 = 10

Metode 2: Menggunakan Identitas Trigonometri
Kita tahu bahwa 1 - cos(2θ) = 2 sin^2(θ). Maka, 1 - cos(10x) = 2 sin^2(5x).
Kita juga tahu bahwa untuk x mendekati 0, sin(x) ≈ x.

lim (x -> 0) (1-cos 10x)/(5x sin x)
= lim (x -> 0) (2 sin^2(5x))/(5x sin x)

Kita bisa pisahkan limitnya menjadi:
= lim (x -> 0) [ (2 sin(5x)) / (5x) ] * [ sin(5x) / sin x ]

Untuk bagian pertama: lim (x -> 0) (2 sin(5x)) / (5x)
Kita bisa kalikan pembilang dan penyebut dengan 5 agar sesuai dengan bentuk lim (θ->0) sin(θ)/θ = 1:
= lim (x -> 0) (2 * 5 * sin(5x)) / (5 * 5x)
= 2 * 5 * lim (x -> 0) sin(5x) / (5x)
= 10 * 1 = 10

Untuk bagian kedua: lim (x -> 0) sin(5x) / sin x
Kita bisa gunakan pendekatan sin(x) ≈ x untuk x dekat 0:
= lim (x -> 0) (5x) / x
= 5

Namun, pendekatan ini kurang tepat. Mari kita gunakan cara yang lebih formal:
lim (x -> 0) sin(5x) / sin x
= lim (x -> 0) [ sin(5x) / (5x) ] * [ (5x) / sin x ]
= lim (x -> 0) [ sin(5x) / (5x) ] * [ 5 * x / sin x ]
= [ lim (x -> 0) sin(5x) / (5x) ] * [ 5 * lim (x -> 0) x / sin x ]
= 1 * 5 * 1 = 5

Menggabungkan kedua bagian:
Limit total = (Hasil bagian 1) * (Hasil bagian 2)
= 10 * 5 = 50

Tunggu, ada kesalahan dalam pemisahan limit pada metode 2. Mari kita perbaiki.

lim (x -> 0) (2 sin^2(5x))/(5x sin x)
Kita bisa tulis ulang sebagai:
= lim (x -> 0) [ (sin(5x) / (5x)) * (sin(5x) / sin x) * 2 * 5x / (5x) ] -- Ini masih rumit.

Mari kita gunakan:
lim (x -> 0) (1-cos 10x)/(5x sin x)
= lim (x -> 0) (2 sin^2(5x))/(5x sin x)
= lim (x -> 0) (2 * sin(5x) * sin(5x)) / (5 * x * sin x)

Kita tahu lim (u->0) sin(u)/u = 1.
Jadi, lim (x->0) sin(5x)/(5x) = 1.
Dan lim (x->0) sin(x)/x = 1.

Kita manipulasi ekspresi:
= lim (x -> 0) [ (2 * sin(5x) * sin(5x)) / (5x * sin x) ] * [ (5x/5x) ] * [ (x/x) ]
= lim (x -> 0) [ (2 * sin(5x) / 5x) * (sin(5x) / x) * (5x / sin x) ] -- Masih salah.

Mari kita susun ulang:
= lim (x -> 0) [ (2 sin^2(5x)) / (5x * sin x) ]
= lim (x -> 0) [ 2 * (sin(5x) / (5x))^2 * (5x)^2 / (5x * sin x) ]
= lim (x -> 0) [ 2 * 1^2 * 25x^2 / (5x * sin x) ]
= lim (x -> 0) [ 50x^2 / (5x * sin x) ]
= lim (x -> 0) [ 10x / sin x ]

Kita tahu lim (x->0) sin(x)/x = 1, jadi lim (x->0) x/sin(x) = 1.

Jadi, limitnya adalah:
= 10 * lim (x -> 0) [ x / sin x ]
= 10 * 1 = 10.

Kedua metode menghasilkan nilai yang sama yaitu 10.